[问题2014A05] 解答
(1) 将矩阵 \(A\) 分解为两个矩阵的乘积:
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} & x^{n-1} \\ x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n & x^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} & 0 \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}.\]
由矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积可得
\[|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} & x^{n-1} \\ x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n & x^n \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} & 0 \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{vmatrix}\]
\[=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)^2.\,\,\Box\]
(2) 记 \(D_m\) 为所求的行列式, 我们来求 \(D_m\) 的递推式. 显然, \(D_1=|A|\). 一般的, 我们可以选择第 \(1\) 行, 第 \(m+1\) 行, \(\cdots\), 第 \((n-1)m+1\) 行进行 Laplace 展开, 注意到包含于这 \(n\) 行可能非零的 \(n\) 阶子式只有一个, 即为 \(|A|\), 其对应的代数余子式即为 \(D_{m-1}\). 因此, 我们有 \[D_m=|A|\cdot D_{m-1},\] 从而 \(D_m=|A|^m\). \(\Box\)