小波变换内积定理证明

本博客为之前看小波的笔记。

教材中的证明。

解释下这个证明。

W_x1(a,b) = <x₁(t), Ψ_ab(t)> = 1/2π<X₁(Ω), Ψ_ab(Ω)>(Parseval 定理)

              = 1/2π∫X₁(Ω)Ψ_ab^*(Ω)dΩ

其中

Ψ_ab(t) = (1/√a)Ψ((t-b)/a)

Ψ(t) →→→→ Ψ(t/a) →→→→ Ψ((t-b)/a) ---- 时域

 ↓                    ↓                       ↓

Ψ(Ω) →→→→ aΨ(aΩ) →→→→ aΨ(aΩ)e^-jΩb ---- 频域

因此Ψ_ab(t)的Fourier变换为Ψ_ab(Ω) = √aΨ(aΩ)e^-jΩb

W_x1(a,b) = 1/2π∫X₁(Ω)√aΨ(aΩ)e^jΩbdΩ

W_x2(a,b) = 1/2π∫X₂(Ω)√aΨ(aΩ)e^jΩbdΩ

于是有了教材中证明的第一行，注意Wx2(a,b)去共轭哦。W_x2^*(a,b) = 1/2π∫X₂(Ω)√aΨ(aΩ)e^-jΩbdΩ

下面关键是∫e^j(Ω-Ω‘)bdb等于什么？

由于公式δ(t) →→→→ 1

1 →→→→ 2πδ(Ω)

e^jΩ't →→→→ 2πδ(Ω-Ω‘)

这里∫e^j(Ω-Ω‘)bdb = ∫e^jΩ'be^-jΩbdb即为e^jΩ'b的Fourier变换2πδ(Ω-Ω‘)此为第三行到第四行的由来。

另外：∫X^*₂(Ω')Ψ(aΩ’)δ(Ω-Ω‘)dΩ‘ = X^*₂(Ω)Ψ(aΩ) 

然后X₁(Ω)Ψ^*(aΩ) X^*₂(Ω)Ψ(aΩ) = X₁(Ω)X^*₂(Ω)|Ψ(aΩ)|² 此为第四行到第五行的由来。

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