HDU4549 M斐波那契数列 —— 斐波那契、费马小定理、矩阵快速幂

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M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

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liuyiding

题解：

1.可知f[n]中a、b的指数符合斐波那契数列，因而可用矩阵快速幂求出。

2.然而如果指数不求模，也可能会溢出。但指数又怎样求模呢？

有如下定理：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m。

证明：

根据费马小定理，当m为素数，且a、p互质时， a^(m-1) ≡ 1 (mod m)，

a^n = a^(k*(m-1)+r) = (a^(m-1))^k * a^r，其中 r = n%(m-1)，

那么 a^n % m = ( (a^(m-1))^k * a^r ) % m =  (a^(m-1))^k % m * a^r % m = 1 * a^r % m = a^(n%(m-1)) % m 。

所以：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m 。

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int MOD = ;
 const int MAXN = 1e6+;

 const int Size = ;
 struct MA
 {
     LL mat[Size][Size];
     void init()
     {
         for(int i = ; i<Size; i++)
         for(int j = ; j<Size; j++)
             mat[i][j] = (i==j);
     }
 };

 MA mul(MA x, MA y)
 {
     MA ret;
     memset(ret.mat, , sizeof(ret.mat));
     for(int i = ; i<Size; i++)
     for(int j = ; j<Size; j++)
     for(int k = ; k<Size; k++)
         ret.mat[i][j] += (1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j])%(MOD-), ret.mat[i][j] %= (MOD-);
     return ret;
 }

 MA qpow(MA x, LL y)
 {
     MA s;
     s.init();
     while(y)
     {
         if(y&) s = mul(s, x);
         x = mul(x, x);
         y >>= ;
     }
     return s;
 }

 LL q_pow(LL x, LL y)
 {
     LL s = ;
     while(y)
     {
         if(y&) s *= x, s %= MOD;
         x *= x, x %= MOD;
         y >>= ;
     }
     return s;
 }

 MA tmp = {
     , ,
     ,
 };

 int main()
 {
     LL f[], n;
     while(scanf("%lld%lld%lld",&f[],&f[],&n)!=EOF)
     {
         if(n<=)
         {
             printf("%lld\n", f[n]%MOD);
             continue;
         }

         MA s = tmp;
         s = qpow(s, n-);
         LL p1 = s.mat[][];
         LL p2 = s.mat[][];
         LL ans = q_pow(f[], p2)*q_pow(f[], p1)%MOD;
         printf("%lld\n", ans);
     }
 }