HDU 1695 GCD【莫比乌斯反演】

时间:2022-06-03 05:16:18

题目链接:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

题意:

1xm,1yn ,求 gcd(x,y)=k (x,y) 的对数。

分析:

首先根据莫比乌斯反演我们有
F(n)=n|df(d)f(n)=n|dμ(d/n)F(d)

f(d) 满足 gcd(x,y)=d x,y 均在给定范围内的 (x,y) 的对数。
F(d) 满足 d|gcd(x,y) x,y 均在给定范围内的 (x,y) 的对数。
显然 F(x)=[n/x][m/x] ,反演后我们得到 f(x)=x|dμ(d/x)[n/d][m/d]
那么这样所求即为f(k)
我们将 x/=k,y/=k,n/=k,m/=k ,即 gcd(x,y)=1 ,这样就可以将问题转化为求解 f(1) f(1)=i=1min(n,m)μ(i)[n/i][m/i]
我们再利用 [n/i] 是一个分段函数的特性,并预处理出 μ 函数的前缀和进行分段优化。
最后记得进行去重。

代码:

/*
-- Hdu 1695
-- Create by jiangyuzhu
-- 2016/5/29
*/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define sa(n) scanf("%d", &(n))
#define sal(n) scanf("%I64d", &(n))
#define pl(x) cout << #x << " " << x << endl
#define mdzz cout<<"mdzz"<<endl;
const int maxn = 1e5 + 5 ;
int tot = 0;
int miu[maxn], prime[maxn], f[maxn];
bool flag[maxn];
void mobius()
{
miu[1] = 1;
tot = 0;
for(int i = 2; i < maxn; i++){
if(!flag[i]){
prime[tot++] = i;
miu[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < maxn; j++){
flag[i * prime[j]] = true;
if(i % prime[j]) miu[i * prime[j]] = -miu[i];
else{
miu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
}
}
f[0] = 0;
for(int i = 1; i < maxn; i++) f[i] = f[i - 1] + miu[i];
}
int main (void)
{
mobius();
int T;sa(T);
int a, b, c, d, k;
for(int kas = 1; kas <= T; kas++){
scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
if(k == 0){
printf("Case %d: 0\n", kas);
continue;
}
b /= k;
d /= k;
if(b > d) swap(b, d);
ll ans = 0, anss = 0;
int n;
for(int i = 1; i <= b; i = n + 1){
n = min(b / (b / i), d / (d / i));
ans += (f[n] - f[i - 1]) * 1ll * (b / i) * (d / i);
}
for(int i = 1; i <= b; i = n + 1){
n = b / (b / i);
anss += (f[n] - f[i - 1]) * 1ll * (b / i) * (b / i);
}
ans -= anss / 2;
printf("Case %d: %I64d\n", kas, ans);
}
return 0;
}