问题

城市的环形路有n个加油站，第i个加油站的油量用gas[i]来表示，你有如下的一辆车：

它的油缸是无限量的，初始是空的

它从第i个加油站到第i+1个加油站消耗油量为cost[i]

现在你可以从任意加油站开始，路过加油站可以不断的加油，问是否能够走完环形路。如果可以返回开始加油站的编号，如果不可以返回-1。

此题目来自于leetcode：https://oj.leetcode.com/problems/gas-station/

注意，解决方案保证是唯一的。

证明
一个环形轨道上有n个加油站，所有加油站的油量总和正好够车跑一圈。证明，总能找到其中一个加油站，使得初始时油箱为空的汽车从这里出发，能够顺利环行一圈回到起点。

数学归纳法
1）当n=1时,结论显然成立（汽车从唯一的加油站加油并出发）；
2）假设当n=k时结论成立,即公路上有k个加油站,从其中第m个加油站出发,汽车可以绕长为S1的公路一周；（为方便讨论,我们可以将原来的环状公路从出发站“剪开”,“拉直”为直线公路）

那么当n=k+1时,即增加一个站（第k+1个站）,它携带着新的汽油,公路也因此延长了S=S2-S1的长度,新的汽油刚好可供汽车行驶距离S（这样便满足题设条件）.我们不妨将第k+1个站放在原来第m个站的前面且与它的距离是S,则汽车从第k+1个站加油并出发,向第m个站开去,则刚好能到达第m个站,由(1)可知汽车可以走完长度为S1的公路,还原问题即得：汽车可以绕长为S2的公路一周.即当n=k+1时结论也成立.

由（1）和（2）,可知结论对任意正整数n都成立,命题得证!

分析

这个题目其实比较简单，只要充分的理解，我相信大家都能够解决的。

你的这辆车的油缸是无限量的，所以每个加油站的油都可以加到车里，但是关键是你得保证，你在第i站的时候，油缸中有的油量，可以支撑你到第i+1站，对于每一站都要如此，所以，并不是总的油量大于消耗量就可以了。要保证每一站都有足够的油可以走到下一站，到每一站，你的车的油量都大于等于0就可以了。

经过上面的分析，很显然，暴力一点，我们每个站都试一下呗，然后找到每一站的油量都大于等于0的那个走法，返回开始的加油站；没有就返回-1。这个解法是O(n^2)的时间复杂度。

我们通过观察上面的暴力方法的步骤，可以发现有很大的改进空间。

当我们从第0个加油站开始，判断是否可以走完，然后从第1个加油站开始，进行判断的时候，其实中间的计算已经做过了。反过来，我们如果计算好了从第1个加油开始，到某一个站时，油量为tank，此时考虑从第0个开始时，到该加油站的油量就是gas[i]-cost[i] + tank。

这时隐约觉得，解决方案的时间复杂度可以是O(n)的时间复杂度。

事实上确实可以，具体的方法如下：
tank表示当前车的油缸里的油量

从第0个站开始，tank += gas[0] - cost[0]，只要tank>=0，我们就继续到下一个加油站

当不满足tank>=0，顺着环路试验从前一个站开始，比如，n-1: tank += gas[n-1] - cost[n-1]，如果还小于0，继续试验再前一个。

直到满足 tank>=0，再进行第1步，依次类推

当一前一后这两个相遇了，算法也就结束了，tank>=0，就成功，返回相遇的位置；否则，失败，返回-1

上面这个方法的时间复杂度是多少呢？O(n)的，很简单，我们作为一个整体来看，每一个节点都只走了一次。

代码

class Solution
{
public:
int canCompleteCircuit(const vector<int> &gas, const vector<int> &cost)
{
vector<int> line(gas.size( ) << 1);

int n = line.size( );

for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        line[i] = gas[i % gas.size( )]- cost[i % gas.size( )];
    }

int start = 0;
int oil = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
    {
if (oil < 0)
        {
            start = i;
            oil = line[i];
        }
else
        {
            oil += line[i];
if (i - start >= gas.size( ))
            {
return start;
            }
        }
    }
return -1;
};

代码2

证明

总存在一个加油站，仅用它的油就足够跑到下一个加油站（否则所有加油站的油量加起来将不够全程）。把下一个加油站的所有油都提前搬到这个加油站来，并把油已被搬走的加油站无视掉。在剩下的加油站中继续寻找油量足以到达下个加油站的地方，不断合并加油站，直到只剩一个加油站为止。显然从这里出发就能顺利跑完全程。

class Solution
{
public:
int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost)
    {

int start = gas.size()-1;
int end = 0;
int sum = gas[start] - cost[start];
while (start > end)
       {
if (sum >= 0)
          {
             sum += gas[end] - cost[end];
             ++end;
          }
else
          {
             --start;
             sum += gas[start] - cost[start];
          }
       }
return sum >= 0 ? start : -1;

    }
};

网上神作

证明
先让汽车油箱里装好足够多的油，随便从哪个加油站出发试跑一圈。车每到一个加油站时，记录此时油箱里剩下的油量，然后把那个加油站的油全部装上。试跑完一圈后，检查刚才路上到哪个加油站时剩的油量最少，那么空着油箱从那里出发显然一定能跑完全程。

算法思路为：
1. 任取一个加油站，作为起点start，然后往前一直开，直到油不够。未能到达之站，记为end。

此时，说明start不适合作起点站。则偿试以start的前面一站作为起点，并更新start，再次偿试，看能否开到站点end。
如果不能开到站点end，说明此站也不合适，继续步骤2.
如果能开到站点end，则继续往前开。直到油不够，并更新end指向此未到之站。继续步骤2.
重复下去，直到start和end相遇。

在实现在，我将最后一个站点作为start，可以省去一个取模超作，即end前进可以简单的写作++end,而start后退可以简单的写作—start。

省去了写成 end = (end + 1)%N; start =(start + N -1)%N;

class Solution
{
public:
int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) 
    {
int N = gas.size(), startIndex = -1;
int sum = 0, total = 0;
for(int i = 0; i < N; i++)
        {
            sum += (gas[i] - cost[i]);
            total += (gas[i] - cost[i]);

if(sum < 0)
            {
                startIndex = i; 
                sum = 0;
            }
        }
return total >= 0 ? startIndex + 1 : -1;
    }
}

其他示例：
http://blog.chinaunix.net/uid-26456800-id-3456036.html

秒客网

环形加油站问题

问题

分析

代码

代码2

网上神作

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