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计算机视觉—相机标定

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0、预备知识

       下图基本展示了一些重要的概念：点 O 与 Xc,Yc,Zc 三个轴组成的坐标系为 相机坐标系，其中，原点 O 为相机光心， Zc 为相机的光轴，光轴和成像平面 xO1y 垂直，且光轴与成像平面的交点为图像的 主点 O1 ， OO1 为相机的焦距 f ， XcOYc 平面和成像平面平行。世界坐标系是为了描述相机的位置而引入的，下图中，点 Ow 与 Xw,Yw,Zw 三个轴组成的坐标系即为 世界坐标系。点 O1 与 x,y 两个坐标轴组成的坐标系为 图像物理坐标系，也即成像平面坐标系。



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1、世界坐标系 → 相机坐标系

       设 (Xw,Yw,Zw) 表示世界坐标系中的点， (Xc,Yc,Zc) 表示相机坐标系中的点，则世界坐标系到相机坐标系的变换，其实就是一个刚体变换，可以由旋转矩阵 R 和平移矩阵 t 来表示，

R⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥+t=⎡⎣⎢XcYcZc⎤⎦⎥

其中， R 为 3x3 的旋转矩阵， t 为 3x1 的平移向量。化为齐次坐标形式

[R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢XcYcZc1⎤⎦⎥⎥⎥

2、相机坐标系 → 理想图像物理坐标系（成像平面坐标系）

       设 (x,y) 是图像物理坐标系中的点， 由于点 (Xc,Yc,Zc) 和相机坐标系的原点（相机光心）之间的连线，穿过图像物理坐标系所在的平面，因此，由相似三角形可得

Xcx=Zcf,Ycy=Zcf

进一步整理可得

[f00f][XcYc]=Zc[xy]

化为齐次坐标形式

⎡⎣⎢f000f0001000⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎢⎢XcYcZc1⎤⎦⎥⎥⎥=Zc⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥

3、图像物理坐标系 → 图像像素坐标系

       以图像的左上角为原点建立图像像素坐标系 (u,v) ，并且让 u 轴与 x 轴平行， v 轴与 y 轴平行。设图像物理坐标系的原点 O1(0,0) 在 uv 坐标系中对应的坐标为 (u0,v0) ， 单位像素在 x 轴和 y 轴方向的物理尺寸分别为 dx 和 dy ，则有

u−u0=xdx,v−v0=ydy

进一步整理可得

[uv]=⎡⎣⎢⎢1dx001dy⎤⎦⎥⎥[xy]+[u0v0]

化为齐次坐标形式

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1dx0001dy0u0v01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥

4、结论

       将相关矩阵相乘，便可以得到三维空间点坐标到图像像素坐标的映射

Zc⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1dx0001dy0u0v01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢f000f0001000⎤⎦⎥[R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢α000β0u0v01000⎤⎦⎥[R3x301x3t3x111x1]⎡⎣⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥=M1M2⎡⎣⎢⎢⎢XwYwZw1⎤⎦⎥⎥⎥

其中， M1 为相机的内参数， M2 为相机的外参数，包括旋转和平移矩阵。