从物理学看拓扑
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2016年诺贝尔物理学奖
2016年诺贝尔物理学奖尘埃落定，大热的引力波并没有获奖。北京时间10月5日上午，瑞典皇家科学院宣布，美国科学家David.J.Thouless、F.Duncan.M.Haldane 和J. Michael Kosterlitz 因其在物质的拓扑相和拓扑相变理论上所作出的突出贡献，共同获得了2016年诺贝尔物理学奖。三人将分享800万瑞典克朗的奖金，其中戴维·索利斯独享400万瑞典克朗，剩余的奖金则由另外两位获奖者平分。
拓扑学原本是现代数学的一个重要分支，研究物体在连续变形下不变的性质，但后来逐渐渗透到整个量子物理学领域，成为研究分析物质世界连续性和连通性的重要数学方法。三名获奖者将拓扑概念应用于物理研究，这是他们取得成就的关键。
什么是拓扑（topology）
拓扑和几何有一些关系，它就是研究形态相似的程度，属于20世纪40年代电子计算机的发明为标志开始的现代数学时期。比如说，一个圆球和一个椭圆球，虽然咱们看起来样子是很不一样的，但是在拓扑上，却是拓扑等价的，而且它们和一个立方体，甚至和一个饭碗，都是等价。Why？你可以想象它们都是可塑性很强的橡皮泥捏成的，如果仅仅通过揉一揉、压一压、按一按造成的改变，这就相当于没有改变，他们是拓扑等价的。但如果你把它做成了一个带把儿的茶杯的形状，那拓扑上就不等价了，因为你没法通过揉一揉、压一压、按一按把一个平面上弄出一个窟窿来。所以一个饭碗和一个带把的茶杯拓扑是不等价的茶杯多了一个窟窿。如果是眼镜儿呢，这下它出现了两个窟窿，所以眼睛框跟茶杯和饭碗都不一样，是另一种拓扑了，如果是带有三个窟窿的曲奇饼干呢，那就是一种新的拓扑结构了。
什么是相变（phase transition）
相变是什么呢？比如说固态到液态是一种相变，液态到气态也是一种，这中间的区别主要是因为分子间距的改变。但是还有一些相变从外观上看不出来，比如说给磁铁加热， 温度到了一个临界点以后，磁性就会完全消失了，虽然你从外表看，还是那块吸铁石，但他在磁性上已经发生了改变，这就是一种相变。同样的，还有一些材料在温度变化的时候，会从不导电变为导电，或在极低温下电阻从有到无，虽然从外观上看，也没有任何变化，但其实导电性大幅跳跃也是一种改变。
数理不分家
这次的诺贝尔奖让我们又一次感受到数学的重要性。微积分是牛顿力学的基础，黎曼几何是广义相对论的基础，微分几何是弦论的基础、量子力学的发展，不太一样，它是在不断地进展，每次进展都有新的数学工具加入，比如说矩阵啊、群论啊，在1980年后，拓扑学也加入了其中。我们还能期待什么呢？数学中最大的一个分支叫做数论，它经过了2000多年的发展，仍然还站在物理学的门外张望，什么时候数论应用到物理学，一定是一个让诺贝尔奖都引以为荣的时刻。
牛顿——莱布尼兹公式：
反常量子霍尔效应
我们先说霍尔效应，假如我们有一块材料，就像一本书那样，平放在桌面上。如果给这本书通上电，在垂直于桌面这个方向加一个磁场，会出现一个奇怪的现象。就是这本书的书脊这一侧和书脊对面翻页的那一侧，出现了电压差。也就是电子都集中跑到其中一边儿去了。这个就叫做霍尔效应，这是130年前发现的。您说这跟我有什么关系？当然有关系了，汽车的速度表显示的数字，就是靠这个原理测得的。
一般在半导体薄片的长度X方向上施加磁感应强度为B的磁场，则在宽度Y方向上会产生电动势UH，这种现象即称为霍尔效应。UH称为霍尔电势，其大小可表示为：
(式中，RH称为霍尔系数，它的单位是米的三次方每库仑，由半导体材料的性质决定；d为半导体材料的厚度,IC 为电流，B为磁场强度)
到了1980年，量子霍尔效应被发现了，你看，多了量子两个字，条件跟霍尔效应只有一点不同，就是它外加的磁场是超强磁场，不是130年前那种弱磁场了，这时候虽然有一部分电子仍然会靠边走，但是在内部，更多的电子不会往边上靠，而是自己在原地打转转，这就会造成，在这个材料的某一个方向上电阻为零。电阻为零，这有什么意义呢？哪怕是有那么一点投资敏感度的人都会发疯的，这就是巨大的商机啊。比如说，我们的CPU之所以按摩尔定律增长不下去了，其中一个原因就是发热太大了，没法继续提高CPU的工作频率。但如果我们可以找到一种材料，它的电阻为零，我们就可以继续提高电流、加高频率，发热的问题也就迎刃而解了。有人可能知道另外一个实现电阻为零的方法，那就是超导，但超导需要低温环境，这不太可能在几厘米范围内的CPU中实现。但量子霍尔效应也被卡住了，它卡在哪了呢？就是实现它的必要条件是得有超强磁场，这一般都得配一个车间那么大的磁场发生器才可以，这样的东西也不可能进到CPU里面。
这时候今年的诺贝尔奖得主邓肯·霍尔丹，就用他新的数学工具计算出，其实量子霍尔效应还有一个更加奇特的情况，就是在不用外加超强磁场的情况下，甚至连一点磁场都不用加的情况下，也能实现量子霍尔效应，也能在某个方向上，出现电阻为零的情况。
如果没有这种新的数学工具拓扑的引入，从前的人是不可能通过原有的物理学预测到有这种物质的存在的，这种新的效应就被称之为反常量子霍尔效应。反常量子霍尔效应对材料有2个要求：
- 边缘导电而内部绝缘
- 材料自身有磁性
世界上有这种物质吗？很多年来没有人找到，但大家都根据今天被颁发科学家的理论知道了，先得找到一种叫做拓扑绝缘体的物质，这种物质天生就已经满足了第一个条件，就是表面导电而内部绝缘。它还差了一个条件，就是自身有磁性。
拓扑绝缘物质有一点像一个镀了金的瓷碗，这个外层是金，导电，内部的瓷是绝缘的，但金碗是我们后续加工之后的东西，镀层脱落了就没有这种性质了，但是拓扑绝缘体可不怕外层脱落。比如说，当你把外层用砂纸打磨掉，原本是内部的东西，裸露出来之后，当它成为了表面，就马上又变成了导体。这有点不可思议，这就像有时候我们吃面包抹黄油，你随便切了一片面包，结果就在截面上自动生成了一层黄油那样。
拓扑绝缘体就是今年颁奖的拓扑相物质理论中预测出来的、计算出来的，具体什么物质什么材料才会这样呢，很久以来谁也不知道。可没想到，这种物质竟然就隐藏在普通材料里。比如像硒化铋，碲化铋，碲化锑，您听着跟绕口令似的，可能一辈子也用不到这些词，但实际上这些物质在半导体领域是常见的。现在2个条件里，还差材料自身有磁性，还没满足。
刚刚说的绕口令似的材料是没有磁性的，只能通过掺杂有磁性的材料来实现，就是往原有材料里像撒胡椒面一样，往里撒进一些有磁性的东西，但这一步可没有做酸辣汤那么简单，洒了胡椒粉就有辣味。因为按原有量子力学的理论，一旦掺杂了其他物质，原本基底的那些材料，很多特性都会发生改变，比如我们好不容易才得到的外部导电+内部绝缘的特性就很可能丢失了。这就好像我们往酸辣汤里加了胡椒粉，一下就变成了鸡蛋汤。
但在在新数学工具下的拓扑相变理论中，外部导电+内部绝缘的特性是不会在掺杂后消失的，您就放心地加佐料吧。
结果就在前几年，中国最先做出了真正可以实现反常量子霍尔效应的材料出来，是在拓扑绝缘体里掺杂了金属铬实现的1。
这就是今年这个令人费解的拓扑相变理论，应用的例子，让我们再回到实际的利益中去，现在反常量子效应的2个条件都已经满足了，零电阻可以不需要庞大的磁场发生器来实现了，一个指甲盖大小的区域就能实现零电阻。也许今后我们手机芯片利用这个技术可以让性能和现在的天河二号超级计算机比拟。
附录
全球大型粒子物理实验室及其粒子加速器对比
| 国家 | 设施 | 特点 | 成就 |
|---|---|---|---|
| 欧洲（瑞士日内瓦） | 欧洲核子研究组织（CERN） | 世界上最大型的粒子物理学实验室，拥有大型强子对撞机（LHC） | 发现上帝粒子“Higgs particle” |
| 日本 | 国际直线对撞机（ILC） | ILC是继国际热核聚变实验反应堆(ITER)计划启动之后人类又一项大规模的国际合作计划项目 | 在建 |
| 美国 | 费米实验室（Fermilab） | “万亿伏特粒子加速器”(Tevatron)隶属于美国费米国家实验室，它在长达20年内一直占据着全球最强大粒子加速器的位置，但是在2011年却因为延长其资金拨款的谈判失败而*停止运行。 | 世界上运行能量第二高的质子-反质子对撞机Tevatron（980GeV×980GeV），附属有两大探测器CDF和D∅。2008年9月欧洲粒子物理研究中心建成的大型强子对撞机（LHC），设计可产生七倍于费米实验室记录的能量。 |
| 中国 | 第一阶段用做环形正负电子对撞机（CEPC）202-2035年完成，第二阶段则是将其升级为超级质子对撞机（SPPC）2040-2050年完成 | 正负电子对撞机有本底低且初态精确可调的特点，而CEPC的质心能量可以轻松达到Higgs粒子的产生阈值（~240 GeV）进而产生大量的干净Higgs粒子（Higgs工厂），利用CEPC，人们可以对Higgs粒子以及其他的标准模型粒子（比如Z粒子）进行精确测量，从而搜索出新物理的蛛丝马迹乃至预言新物理能标。 | 超级质子对撞机能够达到的质心能量比目前实验上的最高水平大接近一个量级，可以对高达50或更高的 TeV的能区进行直接搜索 |
