并查集 & 最小生成树
并查集 Disjoint Sets
什么是并查集？
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
并查集（Disjoint Sets）是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。(引自百度百科《并查集》)
简单来说，并查集的主要操作有：
1- 合并两个不相交的集合
2- 查询两个元素是否属于同一个集合
老样子，先上引例——
NKOJ 1205 亲戚
或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及。在这种情况下，最好的帮手就是计算机。
为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如同Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出Marry和Ben 是亲戚。请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。
输入格式：
输入由两部分组成。
第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1 ≤ N ≤ 20000)。这些人的
编号为1,2,3,…,N。下面有M行(1 ≤ M ≤ 100000)，每行有两个数ai, bi，表示已知ai和bi是亲戚。
第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1 ≤ Q ≤ 1 000 000)，每行为ci,di，表示询问ci和di是否为亲戚。
输出格式：
对于每个询问ci, di，若ci和di为亲戚，则输出yes，否则输出no。
样例输入：
10 7
2 4
5 7
1 3
8 9
1 2
5 6
2 3
3
3 4
7 10
8 9
样例输出：
yes
no
yes
传送门：http://oi.nks.edu.cn/zh/Problem/Details?id=1205
从题目中我们可以得到一些提示，它就是要让我们构建一个关系集合出来，再快速查找两个元素是否位于同一集合，这显然就与并查集的效用十分吻合。
合并的过程是怎样的(图示）？
并查集的工作原理
基于此算法如此高的时间复杂度，我们采用某种特殊的手段来优化它，这也便是并查集的核心内容——路径压缩
下面给出并查集的核心函数：
查询同时路径压缩
int GetFather(int v) { //查询元素v所在集合的根节点
if (Father[v] == v)return v; //v本身为根
else {
Father[v] = GetFather(Father[v]); //只对v到根这条路径上的节点进行路径压缩
return Father[v];
}
}
合并两个集合
void Merge(int x, int y) { //合并元素x和元素y所在集合
int fx, fy;
fx = GetFather(x); //先找出x和y所在集合的根
fy = GetFather(y); //两根不相同，说明x和y位于不同集合
if (fx != fy)Father[fx] = fy; //将fy设为fx的父亲，合并两个集合
}
我们回到引例，我们现在可以很轻松地解决此题（伪代码）——
for (i = 1; i <= n; ++ i)Father[i] = i; //初始化
for (i = 1; i <= m; ++ i) { //读入关系
cin >> x >> y;
Merge(x, y);
}
for (i = 1; i <= q; ++ i) { //回答询问
cin >> x >> y;
if (GetFather(x) == GetFather(y))
cout << "Yes";
else cout << "No";
} (O(m))
#######提供几道并查集的简单练习：
NKOJ 3197 岛屿
NKOJ 1046 关押罪犯
并查集的启发式合并（有缘再补）
最小生成树 Minnimum Spanning Tree(MST)
什么是最小生成树？
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。(引自百度百科《最小生成树》）
简言之，最小生成树就是在一个连通图中生成一棵树，刚好连通所有节点，所含边数（或边权总和最小）。
举个栗子，感受一下——
引例：村长的难题
何老板是某乡村的村长，何老板打算给该村的所有人家都连上网。
该村有n(1<=n<=1000)户人家，编号1到n。由于地形等原因，只有
m(1<=m<=50000)对人家之间可以相互牵线。在不同人家间牵线的长度不一定相同。比如在Ai与Bi之间牵线需要Ci米长的网线。
整个村的网络入口在1号人家，何老板的问题是：是否能使得所有人家都连上网？使所有人家都连上网，最少需要多少米网线？
关注这个例子，我们的解法是要用网线连接n户人家，找出一种方案，使得总的长度最少。
我们目测可到样图的最小生成树
可是我们怎么用算法做到呢？
接下来我会介绍三种算法：
1- Kruskal(克鲁斯卡尔算法)
2- Prim(普里姆算法)
3- Boruvka算法
这三种算法都是基于贪心思想的应用，但其中Kruskal可处理同权边的情况，而Boruvka不可以。
Kruskal
Kruskal算法的基本思想：
每次选不属于同一生成树的且权值最小的边的顶点，将边加入生成树，并将所在的2个生成树合并，直到只剩一个生成树。
排序使用Quicksort
检查是否在同一生成树用并查集
总时间复杂度O(mlogm)，其中m表示边的数量
以下是用Kruskal解决引例的代码：
#define maxm 10003
#define maxn 103
struct node {
int a, b, len; //a，b表示边的两个顶点，len表示长度
}Edge[maxm]; //边的信息
int n, m; //n为顶点数，m为边数
int Father[maxn]; //Father[]存i的父亲节点
bool cmp(node a, node b) { //按边长由小到大排序
return a.len < b.len;
}
void ini() { //初始化
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; ++ i)
scanf("%d%d%d", &Edge[i].a, &Edge[i].b, &Edge[i].len);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)Father[i] = i; //初始化并查集
sort(Edge + 1, Edge + m + 1, cmp);
}
int GetFather(int x) { //并查集，用于判断2个顶点是否属于同一个生成树
if (x != Father[x])Father[x] = GetFather(Father[x]);
}
void Kruskal() {
int x, y, k, Cnt, tot; //k为当前边的编号，tot统计最小生成树的边权总和
Cnt = 0; //Cnt统计进行了几次合并，n - 1次合并就得到最小生成树
k = 0;
tot = 0;
while (Cnt < n - 1) { //n个点构成的生成树只有n - 1条边
++ k;
x = GetFather(Edge[k].a);
y = GetFather(Edge[k].b);
if (x != y) {
Father[x] = y; //合并到一个生成树
tot += Edge[k].len;
++ Cnt;
}
}
printf("%d", tot);
}
int main() {
ini();
Kruskal();
return 0;
}
Prim
Prim算法的基本思想：
任选一个点，加入生成树集合。
在未加入生成树的点中，找出离生成树距离最近的一个点，将其加入生成树。
反复上述操作，直到所有点都加入了生成树。
总时间复杂度O(n^2)，其中n为点的个数
以下给出Prim函数代码：
void Prim(int x) { //开始时任选一点x加入生成树，故一开始树中只有一个点x
int i, j, k, Min;
int Dis[103], Path[103];
for (i = 1; i <= n; ++ i) {
Dis[i] = Map[i][x];
Path[i] = x;
}
for (i = 1; i <= n - 1; ++ i) {
Min = inf;
for (j = 1; j <= n; j += )
if ((Dis[j] != 0) && (Dis[j] < Min) {
Min = Dis[j];
k = j;
}
Dis[k] = 0;
for (j = 1; j <= n; ++ j)
if( Dis[j] > Map[j][k]) {
Dis[j] = Map[j][k];
Path[j] = k;
}
}
}