今天数据结构课讲了最小生成树的Kruskal算法和Prim算法，不过都只是概念，可能是怕他们听不懂吧，反正算法实现一概不讲...囧
下午抱着《算法导论》跑去图书馆看Kruskal算法，发现《算法导论》真的是牛XXXX的书啊，看完之后豁然开朗，而且惊讶地发现Kruskal算法居然用到了前两天研究的并查集，爽歪歪了...
Kruskal比较适用于稀疏图，是一种贪心算法:为使生成树上边的权值和最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能地小。
具体做法:找出森林中连接任意两棵树的所有边中，具有最小权值的边，如果将它加入生成树中不产生回路，则它就是生成树中的一条边。这里的关键就是如何判断"将它加入生成树中不产生回路"。
《算法导论》提供的一种方法是采用一种"不相交集合数据结构"，也就是并查集了。具体的实现看代码好了，反正核心内容就是如果某两个节点属于同一棵树(Find_Set)，那么将它们合并(Union)后一定会形成回路。
编写程序:对于如下一个带权无向图，给出所有边以及权值，用kruskal算法求最小生成树。
输入数据:
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A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11
输出:
A - D : 5
C - E : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - G : 9
Total:39
代码如下，其实代码可以优化的地方很多，例如当生成树的边数已经等于n-1时即可停止循环...因为不是ACM题，故优化省略不写，只当做算法学习...
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 100
/* 定义边(x,y)，权为w */
typedef struct
{
int x, y;
int w;
}edge;
edge e[MAX];
/* rank[x]表示x的秩 */
int rank[MAX];
/* father[x]表示x的父节点 */
int father[MAX];
int sum;
/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序 */
int cmp(const void *a, const void *b)
{
if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w)
{
return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x;
}
return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w;
}
/* 初始化集合 */
void Make_Set(int x)
{
father[x] = x;
rank[x] = 0;
}
/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */
int Find_Set(int x)
{
if (x != father[x])
{
father[x] = Find_Set(father[x]);
}
return father[x];
}
/* 合并x,y所在的集合 */
void Union(int x, int y, int w)
{
if (x == y) return;
/* 将秩较小的树连接到秩较大的树后 */
if (rank[x] > rank[y])
{
father[y] = x;
}
else
{
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
sum += w;
}
/* 主函数 */
int main()
{
int i, n;
int x, y;
char chx, chy;
/* 读取边的数目 */
scanf("%d", &n);
getchar();
/* 读取边信息并初始化集合 */
for (i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%c %c %d", &chx, &chy, &e[i].w);
getchar();
e[i].x = chx - 'A';
e[i].y = chy - 'A';
Make_Set(i);
}
/* 将边排序 */
qsort(e, n, sizeof(edge), cmp);
sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
x = Find_Set(e[i].x);
y = Find_Set(e[i].y);
if (x != y)
{
printf("%c - %c : %d/n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w);
Union(x, y, e[i].w);
}
}
printf("Total:%d/n", sum);
//system("pause");
return 0;
} |
