无理数也是无穷无尽的,它们比起有理数来得多得多。
1. 从
2√
开始
我们从
-
1+2√ ,2+2√ ,3+3√ ,… ,也都是无理数; -
22√ ,32√ ,42√ ,… ,也都是无理数; 12+2√ ,3−22√ ,35−742√ ,… ,仍是无理数;-
如果
r 和s 是有理数,r≠0 ,且a 是无理数,那么ra+s 必是无理数:证明:用反证法。若
ra+s 是有理数,令ra+s=q ,则q−s 是有理数,a=1r(q−s) 也是有理数,与条件相悖。 -
若
a 是无理数,k 是正整数,则a√k 是无理数。证明,同理使用反证法,
a√k=q 是有理数,则a=qk -
a 是无理数,1a 也是无理数证明,使用反证法。
1a=q ,a=1q ; 两个无理数相加(差、积、商),可就不一定是无理数了,
3+2√ 与3−2√ -
若
a,b 是正的有理数,a√ ,b√ 是无理数,则a√+b√ 也是无理数。如果a√≠b√ ,a√−b√ 也是无理数。a√±b√=q ⇒a√=b−a−q22q