无理数的认识

时间:2021-08-31 15:54:47

无理数也是无穷无尽的,它们比起有理数来得多得多。

1. 从 2 开始

我们从 2 开始,就可以构造无穷多个无理数:

  • 1+2 2+2 3+3 ,也都是无理数;
  • 22 32 42 ,也都是无理数;
  • 12+2 322 35742 ,仍是无理数;

  • 如果 r s 是有理数, r0 ,且 a 是无理数,那么 ra+s 必是无理数:

    证明:用反证法。若 ra+s 是有理数,令 ra+s=q ,则 qs 是有理数, a=1r(qs) 也是有理数,与条件相悖。

  • a 是无理数, k 是正整数,则 ak 是无理数。

    证明,同理使用反证法, ak=q 是有理数,则 a=qk

  • a 是无理数, 1a 也是无理数

    证明,使用反证法。 1a=q a=1q ;

  • 两个无理数相加(差、积、商),可就不一定是无理数了, 3+2 32

  • a,b 是正的有理数, a b 是无理数,则 a+b 也是无理数。如果 ab ab 也是无理数。

    a±b=q a=baq22q