2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ

时间：2023-01-23 08:57:07

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。
Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

 

 

想了一下，然后看了年鉴，没想到是这样的，我只是不敢写

上次做了一道类似的也是把体力用到增长率最高的地方，这个很巧

方法就是先搞一个合法的能量分配（一定要合法，能量要大于0，速度要大于0），然后调整

步长为del（开始为Eu），每次选一个增加选一个减少，然后一定要收益为正（用一个两个堆维护（t[e[i]]-t[e[i]+del]）和（t[e[i]]-t[e[i]-del]）的最大值）

每次做完后步长变成原来的1/k，一直做，做到步长足够小

可以证明这样做时间是n*logn*logV的，因为

第一次每个数最多变一次

后面的时候每个数最多变k次左右，如果超过了的话，那么在上一层就应该已经被更改了

做完之后拿数据测了一下，对了，然后就交，结果最后三个点RE

下完数据发现，数据跟年鉴上的不一样，s[i]有=0的情况，坑爹啊，我算t的时候有/s的地方，然后改了就A了TAT......

正解就差不多是算导数（增长率），我觉得不好算就没写了（不太喜欢算导数）

2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ
  1 const
  2     maxn=10010;
  3     eps=1e-14;
  4     oo=1e7;
  5     kk=6;
  6 type
  7     aa=array[0..maxn]of double;
  8     bb=array[0..maxn]of longint;
  9 var
 10     k,s,v,e,del1,del2:aa;
 11     q1,q2,h1,h2:bb;
 12     n,r1,r2:longint;
 13     c,all,ans:double;
 14  
 15 function t(s,k,v,e:double):double;
 16 begin
 17     if e<0 then exit(oo);
 18     v:=v+sqrt(e/k/s);
 19     if v<eps then exit(oo);
 20     exit(s/v);
 21 end;
 22  
 23 procedure swap(var x,y:longint);
 24 var
 25     t:longint;
 26 begin
 27     t:=x;x:=y;y:=t;
 28 end;
 29  
 30 procedure up(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);
 31 var
 32     i:longint;
 33 begin
 34     while x>1 do
 35         begin
 36             i:=x>>1;
 37             if del[q[x]]>del[q[i]]+eps then
 38                 begin
 39                     swap(q[i],q[x]);
 40                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;
 41                     x:=i;
 42                 end
 43             else exit;
 44         end;
 45 end;
 46  
 47 procedure down(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);
 48 var
 49     i:longint;
 50 begin
 51     i:=x<<1;
 52     while i<=r do
 53         begin
 54             if (i<r) and (del[q[i+1]]>del[q[i]]+eps) then inc(i);
 55             if del[q[i]]>del[q[x]] then
 56                 begin
 57                     swap(q[i],q[x]);
 58                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;
 59                     x:=i;i:=x<<1;
 60                 end
 61             else exit;
 62         end;
 63 end;
 64  
 65 procedure new(x:longint);
 66 begin
 67     del1[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]-c);
 68     del2[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]+c);
 69     up(q1,h1,del1,r1,h1[x]);down(q1,h1,del1,r1,h1[x]);
 70     up(q2,h2,del2,r2,h2[x]);down(q2,h2,del2,r2,h2[x]);
 71 end;
 72  
 73 procedure main;
 74 var
 75     i,u,vv,cnt:longint;
 76     ll,rr,mid:double;
 77 begin
 78     read(n,all);c:=all;cnt:=0;
 79     for i:=1 to n do
 80         begin
 81             inc(cnt);
 82             read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
 83             if s[cnt]=0 then dec(cnt);
 84         end;
 85     n:=cnt;
 86     for i:=1 to n do
 87         begin
 88             ll:=0;rr:=all;
 89             while abs(ll-rr)>1 do
 90                 begin
 91                     mid:=(ll+rr)/2;
 92                     if t(s[i],k[i],v[i],mid)<1e5 then rr:=mid
 93                     else ll:=mid;
 94                 end;
 95             e[i]:=rr;all:=all-rr;
 96         end;
 97     e[1]:=e[1]+all;
 98     while c>eps do
 99         begin
100             r1:=0;r2:=0;
101             for i:=1 to n do
102                 begin
103                     inc(r1);q1[r1]:=i;h1[i]:=r1;
104                     inc(r2);q2[r2]:=i;h2[i]:=r2;
105                     new(i);
106                 end;
107             cnt:=0;
108             while del1[q1[1]]+del2[q2[1]]>eps do
109                 begin
110                     inc(cnt);if cnt>n*kk*2 then break;
111                     u:=q1[1];vv:=q2[1];
112                     e[u]:=e[u]-c;e[vv]:=e[vv]+c;
113                     new(u);new(vv);
114                 end;
115             c:=c/kk;
116         end;
117     for i:=1 to n do ans:=ans+t(s[i],k[i],v[i],e[i]);
118     writeln(ans:0:8);
119 end;
120  
121 begin
122     main;
123 end.
View Code

 突然发现求导的方法很好写，就写了，只不过要用extended（至今不知道double和extended有什么区别233，一般都一样，不过有些只能用double，有些只能用extended，我不知道为什么）

2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ
 1 const
 2     maxn=10010;
 3     eps=1e-12;
 4     inf=1e6;
 5 var
 6     s,k,v:array[0..maxn]of extended;
 7     n,cnt:longint;
 8     all,ans:extended;
 9 
10 function flag(x:extended):boolean;
11 var
12     i:longint;
13     l,r,mid,a:extended;
14 begin
15     a:=all;
16     for i:=1 to n do
17       begin
18         l:=v[i];r:=inf;
19         while abs(l-r)>eps do
20           begin
21             mid:=(l+r)/2;
22             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
23             else l:=mid;
24           end;
25         if l<eps then exit(false);
26         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
27         if a<0 then exit(false);
28       end;
29     exit(true);
30 end;
31 
32 procedure main;
33 var
34     l,r,mid,x:extended;
35     i:longint;
36 begin
37     read(n,all);
38     for i:=1 to n do
39       begin
40         inc(cnt);
41         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
42         if s[cnt]=0 then dec(cnt);
43       end;
44     n:=cnt;
45     l:=0;r:=inf;
46     while abs(l-r)>eps do
47       begin
48         mid:=(l+r)/2;
49         if flag(mid) then l:=mid
50         else r:=mid;
51       end;
52     x:=l;
53     for i:=1 to n do
54       begin
55         l:=v[i];r:=inf;
56         while abs(l-r)>eps do
57           begin
58             mid:=(l+r)/2;
59             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
60             else l:=mid;
61           end;
62         ans:=ans+s[i]/l;
63       end;
64     writeln(ans:0:8);
65 end;
66 
67 begin
68 assign(input,'bicycling.in');reset(input);
69 assign(output,'bicycling.out');rewrite(output);
70     main;
71 close(output);close(input);
72 end.
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 为什么两个二分用两个eps就可以用double过了TAT（看来eps较小的情况还是用extended吧）

2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ
 1 const
 2     maxn=10010;
 3     eps=1e-13;
 4     eps1=1e-11;
 5     inf=1e6;
 6 var
 7     s,k,v:array[0..maxn]of double;
 8     n,cnt:longint;
 9     all,ans:double;
10 
11 function flag(x:double):boolean;
12 var
13     i:longint;
14     l,r,mid,a:double;
15 begin
16     a:=all;
17     for i:=1 to n do
18       begin
19         l:=v[i];r:=inf;
20         while abs(l-r)>eps do
21           begin
22             mid:=(l+r)/2;
23             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
24             else l:=mid;
25           end;
26         if l<eps then exit(false);
27         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
28         if a<0 then exit(false);
29       end;
30     exit(true);
31 end;
32 
33 procedure main;
34 var
35     l,r,mid,x:double;
36     i:longint;
37 begin
38     read(n,all);
39     for i:=1 to n do
40       begin
41         inc(cnt);
42         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
43         if s[cnt]=0 then dec(cnt);
44       end;
45     n:=cnt;
46     l:=0;r:=inf;
47     while abs(l-r)>eps1 do
48       begin
49         mid:=(l+r)/2;
50         if flag(mid) then l:=mid
51         else r:=mid;
52       end;
53     x:=l;
54     for i:=1 to n do
55       begin
56         l:=v[i];r:=inf;
57         while abs(l-r)>eps do
58           begin
59             mid:=(l+r)/2;
60             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
61             else l:=mid;
62           end;
63         ans:=ans+s[i]/l;
64       end;
65     writeln(ans:0:8);
66 end;
67 
68 begin
69     main;
70 end.
View Code

 我是sb....TAT，double没有错，是我错了，能量足够是要往小调，v不合法是要往大调所以是if v<eps then exit(true);

2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ
 1 const
 2     maxn=10010;
 3     eps=1e-12;
 4     inf=1e6;
 5 var
 6     s,k,v:array[0..maxn]of double;
 7     n,cnt:longint;
 8     all,ans:double;
 9 
10 function flag(x:double):boolean;
11 var
12     i:longint;
13     l,r,mid,a:double;
14 begin
15     a:=all;
16     for i:=1 to n do
17       begin
18         l:=v[i];r:=inf;
19         while abs(l-r)>eps do
20           begin
21             mid:=(l+r)/2;
22             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
23             else l:=mid;
24           end;
25         if l<eps then exit(true);
26         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
27         if a<0 then exit(false);
28       end;
29     exit(true);
30 end;
31 
32 procedure main;
33 var
34     l,r,mid,x:double;
35     i:longint;
36 begin
37     read(n,all);
38     for i:=1 to n do
39       begin
40         inc(cnt);
41         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
42         if s[cnt]=0 then dec(cnt);
43       end;
44     n:=cnt;
45     l:=0;r:=inf;
46     while abs(l-r)>eps do
47       begin
48         mid:=(l+r)/2;
49         if flag(mid) then l:=mid
50         else r:=mid;
51       end;
52     x:=l;
53     for i:=1 to n do
54       begin
55         l:=v[i];r:=inf;
56         while abs(l-r)>eps do
57           begin
58             mid:=(l+r)/2;
59             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
60             else l:=mid;
61           end;
62         ans:=ans+s[i]/l;
63       end;
64     writeln(ans:0:8);
65 end;
66 
67 begin
68     main;
69 end.
View Code

 

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