1、KMP算法详解与应用
子序列：可以连续可以不连续。
子数组/串：要连续
暴力方法：逐个位置比对。
KMP：让前面的，指导后面。
概念建设：
d的最长前缀与最长后缀的匹配长度为3。（前缀不能到最后一个，后缀也不能到第一个）
先计算出str2的全部匹配信息。
一路相等，直到X与Y不匹配，根据X位置的最长前后缀信息加速。
例子：
用str1的第一个不同的位置（t）从str2最长前缀的下标位置（a）开始比对。
（加强）再说说流程，举例子：
j是推到和后缀等量的位置，如果碰到一个字符最长前后缀为0（该位置没得加速），那么匹配字符就只挪动一位，再继续逐一比对。
代码里面的实现：匹配到了甲乙位置，甲不动，乙根据Y最长前后缀的值去到前面。和甲继续比对。由于有等量的东西，所以就跳过了一部分值的比对。
实质：
为什么i~j这些位置可以判断出，配不出str2？
假设可以从k出发配出全部str2，那么k~x应该和str2的前段等量相等（Y的前缀），k~x也对应着str2中的另一部分（Y的后缀），导致和之前找出的最长前后缀不一致，所以在之前的最长前后缀正确的情况下，是不可能的。
next数组怎么求？
数学归纳法，例如：a的位置，根据判断a的前一个b，和b的最长前缀后的一个是否相等来决定。
如果不等，就拿b最长前缀的下一个c的最长前缀的下一个来比对，一样就c的+1，不一样就继续拆分来看，一直到拆分不了才设置为0。
例子：
变换一下，把t变为a的情况：
分析代码....
public class Code_01_KMP {
public static int getIndexOf(String s, String m) {
if (s == null || m == null || m.length() < 1 || s.length() < m.length()) {
return -1;
}
char[] ss = s.toCharArray();
char[] ms = m.toCharArray();
//匹配下标
int i1 = 0;
int i2 = 0;
int[] next = getNextArray(ms);
while (i1 < ss.length && i2 < ms.length) {
if (ss[i1] == ms[i2]) {
i1++;
i2++;
} else if (next[i2] == -1) {//-1标志数组第一个字符
i1++;//开头都配不上，就++
} else {
i2 = next[i2];//根据next的指引，往前跳，继续比对
}
}
return i2 == ms.length ? i1 - i2 : -1;
}
public static int[] getNextArray(char[] str2) {
if (str2.length == 1) {
return new int[] { -1 };
}
int[] next = new int[str2.length];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int pos = 2;
int cn = 0;//跳到的位置
while (pos < next.length) {
if (str2[pos - 1] == str2[cn]) {
next[pos++] = ++cn;
} else if (cn > 0) {
cn = next[cn];
} else {
next[pos++] = 0;
}
}
return next;
}
public static void main(String[] args) {
String str = "abcabcababaccc";
String match = "ababa";
System.out.println(getIndexOf(str, match));
}
}
KMP应用。
2017秋招京东原题：
输出包含两次原子串的最短字符串
例如：
输入：aba
输出：ababa
计算输入字符的next数组，计算到最后一个位置，看看前面有多少是已经叠加复用的，不够再往后添加上字符。
public class Code_02_KMP_ShortestHaveTwice {
public static String answer(String str) {
if (str == null || str.length() == 0) {
return "";
}
char[] chas = str.toCharArray();
if (chas.length == 1) {
return str + str;
}
if (chas.length == 2) {
return chas[0] == chas[1] ? (str + String.valueOf(chas[0])) : (str + str);
}
int endNext = endNextLength(chas);
//该子字符串始于指定索引处的字符，一直到此字符串末尾。
return str + str.substring(endNext);
}
public static int endNextLength(char[] chas) {
int[] next = new int[chas.length + 1];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int pos = 2;
int cn = 0;
while (pos < next.length) {
if (chas[pos - 1] == chas[cn]) {
next[pos++] = ++cn;
} else if (cn > 0) {
cn = next[cn];
} else {
next[pos++] = 0;
}
}
return next[next.length - 1];
}
public static void main(String[] args) {
String test1 = "a";
System.out.println(answer(test1));
String test2 = "aa";
System.out.println(answer(test2));
String test3 = "ab";
System.out.println(answer(test3));
String test4 = "abcdabcd";
System.out.println(answer(test4));
String test5 = "abracadabra";
System.out.println(answer(test5));
}
}
题目二：
在T1中找是否包含T2子树。
把T1和T2都序列化为串，判断是否为子串。
public class Code_03_KMP_T1SubtreeEqualsT2 {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static boolean isSubtree(Node t1, Node t2) {
String t1Str = serialByPre(t1);
String t2Str = serialByPre(t2);
return getIndexOf(t1Str, t2Str) != -1;
}
public static String serialByPre(Node head) {
if (head == null) {
return "#!";
}
String res = head.value + "!";
res += serialByPre(head.left);
res += serialByPre(head.right);
return res;
}
// KMP
public static int getIndexOf(String s, String m) {
if (s == null || m == null || m.length() < 1 || s.length() < m.length()) {
return -1;
}
char[] ss = s.toCharArray();
char[] ms = m.toCharArray();
int[] nextArr = getNextArray(ms);
int index = 0;
int mi = 0;
while (index < ss.length && mi < ms.length) {
if (ss[index] == ms[mi]) {
index++;
mi++;
} else if (nextArr[mi] == -1) {
index++;
} else {
mi = nextArr[mi];
}
}
return mi == ms.length ? index - mi : -1;
}
public static int[] getNextArray(char[] ms) {
if (ms.length == 1) {
return new int[] { -1 };
}
int[] nextArr = new int[ms.length];
nextArr[0] = -1;
nextArr[1] = 0;
int pos = 2;
int cn = 0;
while (pos < nextArr.length) {
if (ms[pos - 1] == ms[cn]) {
nextArr[pos++] = ++cn;
} else if (cn > 0) {
cn = nextArr[cn];
} else {
nextArr[pos++] = 0;
}
}
return nextArr;
}
public static void main(String[] args) {
Node t1 = new Node(1);
t1.left = new Node(2);
t1.right = new Node(3);
t1.left.left = new Node(4);
t1.left.right = new Node(5);
t1.right.left = new Node(6);
t1.right.right = new Node(7);
t1.left.left.right = new Node(8);
t1.left.right.left = new Node(9);
Node t2 = new Node(2);
t2.left = new Node(4);
t2.left.right = new Node(8);
t2.right = new Node(5);
t2.right.left = new Node(9);
System.out.println(isSubtree(t1, t2));
}
}
题目三：
怎么判断一个字符串，不是由一个子字符串得到的。
123123123123、aabaabaabaabaab
KMP的应用，最后的结束位的前缀和后缀，会呈整数倍的关系。每次划分位置都是相等的整数倍。
KMP要好好消化。
二、Manacher算法详解与应用
最长回文子串。
暴力方式：o(n²)
全部加上#后，逐个计算回文（通过从当前字符每次比对临近左右两个数来计算），取出最大的回文数再除以2即答案。
概念建设：
1、回文半径数组（存放每个位置对应的回文半径）
2、回文最右边界。（实际字符串有虚轴#）
3、回文最右边界的中心
可能性：
1、不在最右边界里面，暴力扩充就行。
2、3、4是i在右边界里面的情况扩充。
2、i的回文半径在右边界里面。
这种情况i不用计算，直接和i’一样。
证明：
3、左边界没扩住i’的情况。i的回文半径是i~R
4、与L压线
从i~R是不用验证的，过了R之后还是要继续扩充验证。
复杂度
再画一下各种情况
i在R内部。
①在内，直接等于i’的
②L外，i~R
③压线，要继续向外扩充判断。
public class Code_04_Manacher {
public static char[] manacherString(String str) {
char[] charArr = str.toCharArray();
char[] res = new char[str.length() * 2 + 1];
int index = 0;
for (int i = 0; i != res.length; i++) {
res[i] = (i & 1) == 0 ? '#' : charArr[index++];
}
return res;
}
public static int maxLcpsLength(String str) {
if (str == null || str.length() == 0) {
return 0;
}
char[] charArr = manacherString(str);
//回文半径数组
int[] pArr = new int[charArr.length];
int C = -1;
int R = -1;
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i != charArr.length; i++) {
//i'的回文和i~R的距离，谁更近就是i的瓶颈
//2 * C - i --> i'的位置
//pArr[2 * C - i] i'的回文半径
//R - i --> i到R的距离
//R > i i在R的边界里面
pArr[i] = R > i ? Math.min(pArr[2 * C - i], R - i) : 1;
//全部情况都往外扩，虽然情况2、3扩充一次后会直接失败，但统一简化了代码
//检查是否越界
while (i + pArr[i] < charArr.length && i - pArr[i] > -1) {
if (charArr[i + pArr[i]] == charArr[i - pArr[i]])
pArr[i]++;
else {
break;
}
}
//如果扩充区域超过了R，做相应的更新
if (i + pArr[i] > R) {
R = i + pArr[i];
C = i;
}
//记录全局最大值
max = Math.max(max, pArr[i]);
}
return max - 1;
}
public static void main(String[] args) {
String str1 = "abc1234321ab";
System.out.println(maxLcpsLength(str1));
}
}
应用：如果只能在字符串最后添加字符，怎么让字符成为回文字符串？要求添加字符最少。
思路：就是在求必须包含最后一个字符串的情况下，最长回文串是多少，前面不是的部分逆序过来添上去。
改写Manacher：
获得第一个达到最后边界的位置，知道了LR边界，把L边界前面的逆序，添加到总体字符串的后面，既是答案。
例子：
加#解决偶回文的问题
public class Code_05_Manacher_ShortestEnd {
public static char[] manacherString(String str) {
char[] charArr = str.toCharArray();
char[] res = new char[str.length() * 2 + 1];
int index = 0;
for (int i = 0; i != res.length; i++) {
res[i] = (i & 1) == 0 ? '#' : charArr[index++];
}
return res;
}
public static String shortestEnd(String str) {
if (str == null || str.length() == 0) {
return null;
}
char[] charArr = manacherString(str);
int[] pArr = new int[charArr.length];
int index = -1;
int pR = -1;
int maxContainsEnd = -1;
for (int i = 0; i != charArr.length; i++) {
pArr[i] = pR > i ? Math.min(pArr[2 * index - i], pR - i) : 1;
while (i + pArr[i] < charArr.length && i - pArr[i] > -1) {
if (charArr[i + pArr[i]] == charArr[i - pArr[i]])
pArr[i]++;
else {
break;
}
}
if (i + pArr[i] > pR) {
pR = i + pArr[i];
index = i;
}
if (pR == charArr.length) {
maxContainsEnd = pArr[i];
break;
}
}
//原串 - 回文串 + 1 = 后补的长度
char[] res = new char[str.length() - maxContainsEnd + 1];
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
res[res.length - 1 - i] = charArr[i * 2 + 1];
}
return String.valueOf(res);
}
public static void main(String[] args) {
String str2 = "abcd123321";
System.out.println(shortestEnd(str2));
}
}
要多练练，算法相伴随的衍生题目，提高敏感度。
代码解读：
取最近距离。
I’在区域内的情况：
I’在区域外的情况：
