文件名称：几何布朗运动-基于卷积神经网络的图像分类算法综述
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更新时间：2024-06-27 13:25:46
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一、标准布朗运动 标准布朗运动，又称维纳过程(Weiner Process)，用 W(t)表示。它的性质比较独特： 1．W(0)=0， 即我们定义初始时刻的点为 0 点。 2．W(t)~N(0,t)，在 t 时刻的位置服从均值为 0，方差为 t 的正态分布 3．W(s)-W(t)~N(0,s-t)，从时刻 t 走到时刻 s（s 要大于 t），位置的变化服从均值为 0， 方差为 s-t的正态分布，且该分布与W(t)独立，但不与W(s)独立，因为W(s)=W(t)+(W(s)-W(t))。 有了这些性质，我们可以模拟标准布朗运动（准确说是一维的标准布朗运动）。分两种 情况： 如果我们只要看终点时刻 T 时的位置，则有性质 2，我们可知，其在时刻 T 服从 N(0,T) 分布，直接生成服从该分布的随机数即可。 如果我们需要模拟此运动从时间 0 到时点 T 整个过程中的运动路径。首先需要明确一 点，我们只能模拟离散时间点的位置。此处我们用 t1,t2,...tn表示即将用于模拟的时间点。 由上面的性质 2 和 3，我们有: W(t1)~N(0,t1) W(t2)-W(t1)~N(0,t2-t1) W(t3)-W(t2)~N(0,t3-t2) W(T)-W(tn)~N(0,T-tn) 所以我们要做的是分别生成服从 N(0,t1)，N(0,t2-t1)，N(t3-t2)，……，N(0,T-tn)这些随 机数，在第 i 个时间点 ti 时此运动的位置 X(ti)就是将服从 N(0,ti-t(i-1))以及在这个分布之前 的所有分布的随机数累加起来。 详细例子见视频教程中展示的 PPT 十九、带漂移的布朗运动 标准布朗运动的表述是： 一 般 形 式 的 布 朗 运 动 的 表 述 是 ： , 其 微 分 表 述 是 ： 。这里μ是漂移系数，σ表示波动率。我们通过如下转化： 就得到了标准布朗运动。 这个转化告诉我们，如果要生成一般形式的布朗运动，我们只要先生成一个标准布朗运 动，然后由 即可得到所需的一般形式。 具体例子见 ppt 二十、几何布朗运动 几何布朗运动的作用是用来模拟股价的变动。它的好处在于，一般形式布朗运动中取值 可能为负数，而几何布朗运动取值永远不小于 0，这一点符合股价永远不为负的特征。 几何布朗运动微分形式的表述。或者称 SDE（随机微分方程）形式：