文件名称：参数估计-最优状态估计 卡尔曼，h∞及非线性滤波
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更新时间：2024-07-05 14:29:00
概率论 茆诗松 答案
第六章 参数估计 习题 6.1 1． 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性 差？ （1） 3211 6 1 3 1 2 1ˆ XXX ++=µ ； （2） 3212 3 1 3 1 3 1ˆ XXX ++=µ ； （3） 3213 3 2 6 1 6 1ˆ XXX ++=µ ． 证：因 µµµµµ =++=++= 6 1 3 1 2 1 )( 6 1 )( 3 1 )( 2 1 )ˆ( 3211 XEXEXEE ， µµµµµ =++=++= 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )ˆ( 3212 XEXEXEE ， µµµµµ =++=++= 3 2 6 1 6 1 )( 3 2 )( 6 1 )( 6 1 )ˆ( 3213 XEXEXEE ， 故 321 ˆ,ˆ,ˆ µµµ 都是总体均值µ 的无偏估计； 因 2222 3211 36 14 36 1 9 1 4 1 )Var( 36 1 )Var( 9 1 )Var( 4 1 )ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 2222 3212 3 1 9 1 9 1 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 2222 3213 2 1 9 4 36 1 36 1 )Var( 9 4 )Var( 36 1 )Var( 36 1 )ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 故 )ˆVar()ˆVar()ˆVar( 312 µµµ << ，即 2µ̂ 有效性 好， 1µ̂ 其次， 3µ̂ 差． 2． 设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明 X/1 是否为λ的无偏估计． 解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)， 由伽玛分布的可加性知 ∑ = = n i iXY 1 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 0 1 e )( )( > −− Ι Γ = y yn n Y yn yp λ λ ， 则 λ λ λλλ λλ 1 )1( )( e )( e )( 1 10 2 0 1 − = −Γ ⋅ Γ = Γ = Γ ⋅=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞+ −−∞+ −− ∫∫ n nn n n dyy n n dyy ny n Y n E X E n n yn n yn n ， 故 X/1 不是λ的无偏估计． 3． 设θ̂ 是参数θ 的无偏估计，且有 0)ˆ(Var >θ ，试证 2)ˆ(θ 不是θ 2 的无偏估计． 证：因 θθ =)ˆ(E ，有 2222 )ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[( θθθθθθ >+=+= EE ，故 2)ˆ(θ 不是θ 2的无偏估计． 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 ∑ = + − n i ii XXc 1 2 1 )( 为σ 2 的无 偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi ) 2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )] 2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )] 2 = 2σ 2，