【文件属性】：
文件名称：参数估计-最优状态估计 卡尔曼，h∞及非线性滤波
文件大小：6.53MB
文件格式：PDF
更新时间：2021-06-15 20:42:20
概率论 茆诗松 答案
第六章 参数估计
习题 6.1
1． 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ
的无偏估计，在方差存
在时指出哪一个估计的有效性 差？
（1） 3211 6
1
3
1
2
1ˆ XXX ++=µ ； （2） 3212 3
1
3
1
3
1ˆ XXX ++=µ ； （3） 3213 3
2
6
1
6
1ˆ XXX ++=µ ．
证：因 µµµµµ =++=++=
6
1
3
1
2
1
)(
6
1
)(
3
1
)(
2
1
)ˆ( 3211 XEXEXEE ，
µµµµµ =++=++=
3
1
3
1
3
1
)(
3
1
)(
3
1
)(
3
1
)ˆ( 3212 XEXEXEE ，
µµµµµ =++=++=
3
2
6
1
6
1
)(
3
2
)(
6
1
)(
6
1
)ˆ( 3213 XEXEXEE ，
故 321 ˆ,ˆ,ˆ µµµ 都是总体均值µ
的无偏估计；
因
2222
3211 36
14
36
1
9
1
4
1
)Var(
36
1
)Var(
9
1
)Var(
4
1
)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ，
2222
3212 3
1
9
1
9
1
9
1
)Var(
9
1
)Var(
9
1
)Var(
9
1
)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ，
2222
3213 2
1
9
4
36
1
36
1
)Var(
9
4
)Var(
36
1
)Var(
36
1
)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ，
故 )ˆVar()ˆVar()ˆVar( 312 µµµ << ，即 2µ̂ 有效性 好， 1µ̂ 其次， 3µ̂ 差．
2． 设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明 X/1 是否为λ的无偏估计．
解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)，
由伽玛分布的可加性知 ∑
=
=
n
i
iXY
1
服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为
0
1 e
)(
)( >
−− Ι
Γ
= y
yn
n
Y yn
yp λ
λ
，
则 λ
λ
λλλ λλ
1
)1(
)(
e
)(
e
)(
1
10
2
0
1
−
=
−Γ
⋅
Γ
=
Γ
=
Γ
⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞+ −−∞+ −− ∫∫ n
nn
n
n
dyy
n
n
dyy
ny
n
Y
n
E
X
E n
n
yn
n
yn
n
，
故 X/1 不是λ的无偏估计．
3． 设θ̂ 是参数θ 的无偏估计，且有 0)ˆ(Var >θ ，试证 2)ˆ(θ 不是θ 2 的无偏估计．
证：因 θθ =)ˆ(E ，有 2222 )ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[( θθθθθθ >+=+= EE ，故 2)ˆ(θ 不是θ 2的无偏估计．
4． 设总体 X ~ N (µ , σ
2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 ∑
=
+ −
n
i
ii XXc
1
2
1 )( 为σ
2
的无
偏估计．
解：因 E[(Xi + 1 − Xi )
2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]
2 = Var (Xi + 1) + Var
(Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]
2 = 2σ 2，