文件名称：更有效-最优状态估计 卡尔曼，h∞及非线性滤波
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更新时间：2024-07-05 14:29:00
概率论 茆诗松 答案
X 比 4X (1)更有效． 7． 设从均值为µ ，方差为σ 2 > 0 的总体中，分别抽取容量为 n1和 n2 的两独立样本， 1X 和 2X 分别是这 两个样本的均值．试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1）， 21 XbXaY += 都是µ 的无偏估计，并确定常 数 a, b 使 Var (Y ) 达到 小． 解：因 µµµµ =+=+=+= )()()()( 21 babaXbEXaEYE ， 故 Y 是µ 的无偏估计； 因 2 22 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 12)1()(Var)(Var)(Var σ σσ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− + =⋅−+⋅=+= n a n a nn nn n a n aXbXaY ， 令 0 2 2)(Var 2 221 21 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⋅ + = σ n a nn nn Y da d ，得 21 1 nn n a + = ，且 02)(Var 2 21 21 2 2 >⋅ + = σ nn nn Y ad d ， 故当 21 1 nn n a + = ， 21 21 nn n ab + =−= 时，Var (Y ) 达到 小 2 21 1 σ nn + ． 8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2 ，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性 无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 )Var()Var( TX ． 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 ∑ = = n i iin XaXXT 1 1 ),,( L ， 则 µµ === ∑∑ == n i i n i ii aXEaTE 11 )()( ，即 1 1 =∑ = n i ia ， 因 X1, …, Xn相互独立，当 i ≠ j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0， 则 n a n XX n a XaX n XaX n TX n i i n i ii i n i iii n i ii n i i 2 1 2 1111 ),Cov(, 1 Cov, 1 Cov),Cov( σσ ===⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑∑∑∑ ===== ， 因 ),Cov()Var( 1 )Var( 2 TX n X n X === σ ， 故 X 与 T 的相关系数为 )Var( )Var( )Var()Var( )Var( )Var()Var( ),Cov( ),Corr( T X TX X TX TX TX === ． 9． 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i（i = 1, …, k）．用这些仪器独立 地对某一物理量θ 各观察一次，分别得到 X1, …, Xk ，设仪器都没有系统误差．问 a1, …, ak应取何值， 方能使 ∑ = = k i ii Xa 1 θ̂ 成为θ 的无偏估计，且方差达到 小？