【文件属性】：
文件名称：更有效-最优状态估计 卡尔曼，h∞及非线性滤波
文件大小：6.53MB
文件格式：PDF
更新时间：2021-06-15 20:42:20
概率论 茆诗松 答案
X 比 4X (1)更有效．
7． 设从均值为µ ，方差为σ
2 > 0 的总体中，分别抽取容量为 n1和 n2 的两独立样本， 1X 和 2X 分别是这
两个样本的均值．试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1）， 21 XbXaY += 都是µ
的无偏估计，并确定常
数 a, b 使 Var (Y ) 达到 小．
解：因 µµµµ =+=+=+= )()()()( 21 babaXbEXaEYE ，
故 Y 是µ 的无偏估计；
因
2
22
2
21
21
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2 12)1()(Var)(Var)(Var σ
σσ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
+
=⋅−+⋅=+=
n
a
n
a
nn
nn
n
a
n
aXbXaY ，
令 0
2
2)(Var 2
221
21 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅
+
= σ
n
a
nn
nn
Y
da
d
，得
21
1
nn
n
a
+
= ，且 02)(Var 2
21
21
2
2
>⋅
+
= σ
nn
nn
Y
ad
d
，
故当
21
1
nn
n
a
+
= ，
21
21
nn
n
ab
+
=−= 时，Var (Y ) 达到 小 2
21
1
σ
nn +
．
8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ
2
，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T
(X1, …, Xn)为µ
的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 )Var()Var( TX ．
证：因 T (X1, …, Xn)为µ
的任一线性无偏估计量，设 ∑
=
=
n
i
iin XaXXT
1
1 ),,( L ，
则 µµ === ∑∑
==
n
i
i
n
i
ii aXEaTE
11
)()( ，即 1
1
=∑
=
n
i
ia ，
因 X1, …, Xn相互独立，当 i ≠ j 时，有 Cov
(Xi, Xj) = 0，
则
n
a
n
XX
n
a
XaX
n
XaX
n
TX
n
i
i
n
i
ii
i
n
i
iii
n
i
ii
n
i
i
2
1
2
1111
),Cov(,
1
Cov,
1
Cov),Cov(
σσ
===⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑∑∑∑
=====
，
因 ),Cov()Var(
1
)Var(
2
TX
n
X
n
X ===
σ
，
故 X 与 T 的相关系数为
)Var(
)Var(
)Var()Var(
)Var(
)Var()Var(
),Cov(
),Corr(
T
X
TX
X
TX
TX
TX === ．
9． 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i（i = 1, …, k）．用这些仪器独立
地对某一物理量θ 各观察一次，分别得到 X1, …, Xk ，设仪器都没有系统误差．问 a1, …, ak应取何值，
方能使 ∑
=
=
k
i
ii Xa
1
θ̂ 成为θ 的无偏估计，且方差达到 小？