Bellman—Ford算法思想

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Bellman—Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图G=(V，E)，其源点为s，加权函数w是边集E的映射。对图G运行Bellman—Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若存在负权回路，单源点最短路径问题无解；若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径值d[v]

Bellman—Ford算法流程

分为三个阶段：

      (1)初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值

         dis[v]ß+∞，dis[s]ß0；

      (2)迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集v中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

      (3)检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在dis[v]中。

【程序】

 {单源最短路径的Bellman-ford算法执行v-1次，每次对每条边进行松弛操作如有负权回路则输出"Error"}
  const
   maxn=;
   maxe=maxn*(maxn-)div ;
  type
   edge=record
          a,b,w  :integer;
        end;
  var
   edges :array[..maxe]of edge;
   dis   :array[..maxn]of integer;
   pre   :array[..maxn]of integer;
   e,n,s :integer;
  procedure init;
  var
   i     :integer;
  begin
   e:=;
   assign(input,'g.in');reset(input);
   readln(n,s);
   while not eof do
     begin
       inc(e);
       with edges[e] do readln(a,b,w);
     end;
   fillchar(dis,sizeof(dis),$7f);//初始值为无穷大
   dis[s]:=;pre[s]:=s;
  end;
  procedure relax(u,v,w:integer);
  begin
   if dis[u]+w<dis[v] then
     begin
       dis[v]:=dis[u]+w;
       pre[v]:=u;
     end
  end;
  function bellman_ford:boolean;
  var
   i,j   :integer;
  begin
   for i:= to n- do
     for j:= to e do
       with edges[j] do relax(a,b,w);
   for i:= to e do
     with edges[i] do
       if dis[a]+w<dis[b] then exit(false);
   exit(true)
  end;
  procedure print_path(i:integer);
  begin
   if pre[i]<>s then print_path(pre[i]);
   write('-->',i)
  end;
  procedure show;
  var
   i     :integer;
  begin
   for i:= to n do
     begin
       write(i:,':',dis[i]:,':',s);
       print_path(i);
       writeln
     end;
  end;
  {========main========}
  begin
  init;
  if bellman_ford then show
   else writeln('Error!!')
  end.

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