[SDOI2014]向量集
题目描述
维护一个向量集合，在线支持以下操作： - "A x y (|x|，|y| < =10^8)"：加入向量(x，y); - " Q x y l r (|x|，|y| < =10^8，1 < =L < =R < =T，其中T为已经加入的向量个数)询问第L个到第R个加入的向量与向量(x，y)的点积的最大值。 集合初始时为空。
输入输出格式
输入格式
输入的第一行包含整数N和字符s，分别表示操作数和数据类别； 接下来N行，每行一个操作，格式如上所述。 请注意s≠'E'时，输入中的所有整数都经过了加密。你可以使用以下程序得到原始输入： ··· inline int decode (int x long long lastans) { return x ^ (lastans & Ox7fffffff); } ``` 其中x为程序读入的数，lastans为之前最后一次询问的答案。在第一次询问之前，lastans=0。注：向量(x，y)和(z，W)的点积定义为xz+yw。
输出格式
对每个Q操作，输出一个整数表示答案。
输入输出样例
输入样例 #1
6 A
A 3 2
Q 1 5 1 1
A 15 14
A 12 9
Q 12 8 12 15
Q 21 18 19 18输出样例 #1
13
17
17
说明
样例解释：解密之后的输入为 ``` 6 E A 3 2 Q 1 5 1 1 A 2 3 A 1 4 Q 1 5 1 2 Q 4 3 2 3 ``` 1 < =N < =4\*10^5
[题意]
维护向量序列，支持在序列末尾添加向量，以及询问某个区间中的向量与给定向量的点积的最大值。
[官方题解]
[个人题解]（网上东拼西凑的）
一般性设当前询问的$y_0>0$，那么$\dfrac{ans}{y_0}=\max\{\dfrac{x_0}{y_0}\cdot x+y\}$，然后这个东西和斜率优化长得一样，答案一定是在凸壳上的.
于是我们维护这个凸壳.因为有区间询问所以线段树维护每个区间的凸壳.具体地，插入的时候统计当前区间已经有多少个点，如果点数等于当前区间长度那么构造出这个区间的凸壳.询问的时候拆成$\log$个区间分别跑二分/三分即可.
求凸包这里使用按$x$坐标排序的那个算法.注意如果几个点的$x$相同那么要按$y$排序.
插入的时候每个区间只会被构建一次凸包，总复杂度$O(n\log n)$，排序用归并.
查询的时候拆成$\log$个区间，每个区间$O(\log n)$三分/二分，总复杂度$O(n\log ^2 n)$
每个区间都要构建一次凸包，可以这么处理：每个线段树节点放个指针，动态开辟空间建立凸包。
网上不少代码把情况讨论合并成一种，只维护上凸壳。保险起见，也为了自己能够更好地理解，我还是分类讨论，同时维护上下凸壳。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){
register char ch=getchar();x=;register bool f=;
for(;ch<''||ch>'';ch=getchar()) if(ch=='-') f=;
for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) x=x*+ch-'';
if(f) x=-x;
}
const int N=4e5+;
int n,m,cnt;ll ans;char type[],op[];
struct Q{
int opt,l,r,x,y;
Q(){}
Q(int opt,int l,int r,int x,int y):opt(opt),l(l),r(r),x(x),y(y){}
}q[N];
struct point{
int x,y;
point(int x=,int y=):x(x),y(y){}
point operator +(const point &a)const{
return point(x+a.x,y+a.y);
}
point operator -(const point &a)const{
return point(x-a.x,y-a.y);
}
ll operator *(const point &a)const{
return (ll)x*a.x+(ll)y*a.y;
}
ll operator ^(const point &a){
return (ll)x*a.y-(ll)y*a.x;
}
bool operator <(const point &a)const{
return x==a.x?y<a.y:x<a.x;
}
}p[N],tmp[N];int tmpsize;
struct CH{
point *up,*dw;
int upsize,dwsize;
void init(int l,int r){
up=new point[r-l+];
dw=new point[r-l+];
tmpsize=upsize=dwsize=;
for(int i=l;i<=r;i++) tmp[++tmpsize]=p[i];
sort(tmp+,tmp+tmpsize+);
for(int i=;i<=tmpsize;i++){
for(;upsize>&&((tmp[i]-up[upsize])^(up[upsize]-up[upsize-]))<=;upsize--);
up[++upsize]=tmp[i];
for(;dwsize>&&((dw[dwsize]-dw[dwsize-])^(tmp[i]-dw[dwsize]))<=;dwsize--);
dw[++dwsize]=tmp[i];
}
}
ll qmax(point p){
int l,r,mid1,mid2;ll res=-(1LL<<);
if(p.y>=){
l=;r=upsize;
while(r-l>){
mid1=l+(r-l)/;
mid2=r-(r-l)/;
if(up[mid1]*p<up[mid2]*p)
l=mid1;
else
r=mid2;
}
for(int i=l;i<=r;i++) res=max(res,up[i]*p);
}
else{
l=;r=dwsize;
while(r-l>){
mid1=l+(r-l)/;
mid2=r-(r-l)/;
if(dw[mid1]*p<dw[mid2]*p)
l=mid1;
else
r=mid2;
}
for(int i=l;i<=r;i++) res=max(res,dw[i]*p);
}
return res;
}
}b[N<<];bool tag[N<<];
#define lch k<<1
#define rch k<<1|1
ll query(int k,int l,int r,int x,int y,point p){
if(l==x&&r==y){
if(!tag[k]) tag[k]=,b[k].init(l,r);
return b[k].qmax(p);
}
int mid=l+r>>;
if(y<=mid) return query(lch,l,mid,x,y,p);
else if(x>mid) return query(rch,mid+,r,x,y,p);
else return max(query(lch,l,mid,x,mid,p),query(rch,mid+,r,mid+,y,p));
}
inline void decode(int &x){
if(type[]=='E') return ;
x=x^(ans&0x7fffffff);
}
int main(){
read(m);scanf("%s",type);
for(int i=,opt,x,y,l,r;i<=m;i++){
scanf("%s",op);opt=(op[]=='Q');
if(opt){
read(x);read(y);
read(l);read(r);
}
else{
read(x);read(y);l=r=;
++n;
}
q[i]=Q(opt,l,r,x,y);
}
for(int i=,l,r,x,y;i<=m;i++){
if(q[i].opt){
l=q[i].l;r=q[i].r;
x=q[i].x;y=q[i].y;
decode(l);decode(r);
decode(x);decode(y);
ans=query(,,n,l,r,point(x,y));
printf("%lld\n",ans);
}
else{
x=q[i].x;y=q[i].y;
decode(x);decode(y);
p[++cnt]=point(x,y);
}
}
return ;
}
收获：
所有形如$f[i]=\min\limits_{L(i)\leq j\leq R(i)}\{k(i)x(j)+F(j)\}+G(i)$的$dp$都是可做的（斜率优化型动态规划）