BZOJ 1036: [ZJOI2008]树的统计Count [树链剖分]【学习笔记】

1036: [ZJOI2008]树的统计Count

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Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

学了一下树链剖分，感觉几月前的自己好弱，现在理解起来比较简单

一个链接

摘抄alpq654321课件上一些东西：

树链剖分，指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构（树状数组、SBT、SPLAY、线段树等）来维护每一条链。

第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]，以及每个点的父亲fa[x]。

第二遍dfs以根节点为起点，先dfs其儿子中size最大的儿子，相当于重边，之后dfs其它轻儿子。

在dfs的过程中求出每个节点的dfs序以及沿着重链向根最远到达哪个点，每条重链的dfs序就相当于一段区间，树上问题转化为区间问题。

根据不同题目使用维护区间的数据结构即可。

每次要对一条链进行处理时，比较简单的做法是求出LCA后将其分为两条链。

对于每次操作，将当前点跳到其最远的重链祖先，这些点的dfs序是连续的，当做区间操作来处理。

性质：

对于所有轻边u,v。

有size[v]*2<size[u]。

因此对于任意一点开始到根为止，最多不超过lgn条轻边。

显然重链与轻边的条数同阶，因此也不超过lgn条重链。

一些注意：

1.每个节点属于一条重链

2.因为先走重链，所以他的dfs序构成线段（代码中用了tid

这个也是n

3.我的dfs第一次还处理了mx[u]，u的子节点size最大的

4.读入w的时候直接用了tid，建树的时候比较方便，要不然如果使用线段树build函数必须加一个fmp[x]表示tid为x的点的原编号[一定要分清哪个编号]

5.求lca就是交替走重链和轻边，选择deep[top[]]大的点走到fa[top[]]（过程中可以对重链操作），最后x和y在同一条重链上了，直接操作

[2016-12-31]一些新理解：

复杂度：每走一个轻边，size至少一倍(可以想想完全二叉树，那个正好一倍)，最多走logn次

完全二叉树才是logn，然后这样树高太小卡不住暴力，所以认为树剖的常数很小

链剖序同时是dfs序，但要注意重链先行

一个小性质：除了最后的链，每个区间都是重链的一个前缀

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define lc o<<1

#define rc o<<1|1

#define m ((l+r)>>1)

#define lson o<<1,l,m

#define rson o<<1|1,m+1,r

const int N=3e4+,INF=1e9;

int read(){

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}

    return x*f;

}

int n,a,b,w[N],q;

char s[];

struct edge{

    int v,ne;

}e[N<<];

int h[N],cnt;

inline void ins(int u,int v){

    cnt++;

    e[cnt].v=v;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;

    cnt++;

    e[cnt].v=u;e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt;

}

int deep[N],size[N],fa[N],mx[N];

void dfs1(int u){

    size[u]=;

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){

        int v=e[i].v;

        if(v==fa[u]) continue;

        fa[v]=u;deep[v]=deep[u]+;

        dfs1(v);

        size[u]+=size[v];

        if(size[v]>size[mx[u]]) mx[u]=v;

    }

}

int tid[N],top[N],tot;

void dfs2(int u,int anc){

    if(!u) return;

    tid[u]=++tot;top[u]=anc;

    dfs2(mx[u],anc);

    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)

        if(e[i].v!=mx[u]&&e[i].v!=fa[u]) dfs2(e[i].v,e[i].v);

}

struct node{

    int sum,mx;

}t[N<<];

void merge(int o){

    t[o].sum=t[lc].sum+t[rc].sum;

    t[o].mx=max(t[lc].mx,t[rc].mx);

}

void build(int o,int l,int r){

    if(l==r) t[o].sum=t[o].mx=w[l];

    else{

        build(lson);

        build(rson);

        merge(o);

    }

}

void change(int o,int l,int r,int p,int v){

    if(l==r) t[o].sum=t[o].mx=v;

    else{

        if(p<=m) change(lson,p,v);

        else change(rson,p,v);

        merge(o);

    }

}

int segsum(int o,int l,int r,int ql,int qr){

    if(ql<=l&&r<=qr) return t[o].sum;

    else{

        int ans=;

        if(ql<=m) ans+=segsum(lson,ql,qr);

        if(m<qr) ans+=segsum(rson,ql,qr);

        return ans;

    }

}

int segmx(int o,int l,int r,int ql,int qr){

    if(ql<=l&&r<=qr) return t[o].mx;

    else{

        int mx=-INF;

        if(ql<=m) mx=max(mx,segmx(lson,ql,qr));

        if(m<qr) mx=max(mx,segmx(rson,ql,qr));

        return mx;

    }

}

int qmax(int x,int y){

    int mx=-INF;

    while(top[x]!=top[y]){

        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);

        mx=max(mx,segmx(,,n,tid[top[x]],tid[x]));

        x=fa[top[x]];

    }

    if(tid[x]>tid[y]) swap(x,y);

    mx=max(mx,segmx(,,n,tid[x],tid[y]));

    return mx;

}

int qsum(int x,int y){

    int sum=;

    while(top[x]!=top[y]){

        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);

        sum+=segsum(,,n,tid[top[x]],tid[x]);

        x=fa[top[x]];

    }

    if(tid[x]>tid[y]) swap(x,y);

    sum+=segsum(,,n,tid[x],tid[y]);

    return sum;

}

int main(){

    n=read();

    for(int i=;i<=n-;i++) a=read(),b=read(),ins(a,b);

    dfs1();dfs2(,);

    for(int i=;i<=n;i++) w[tid[i]]=read();

    build(,,n);//tot==n

    q=read();

    while(q--){

        scanf("%s",s);a=read();b=read();

        if(s[]=='M') printf("%d\n",qmax(a,b));

        else if(s[]=='S') printf("%d\n",qsum(a,b));

        else w[a]=b,change(,,n,tid[a],b);

    }

}

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