4 Median of Two Sorted Arrays

题目链接：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

题目：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. 
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

解题思路：
这题乍一看挺简单，实则很难。根据题目所要求的时间复杂度能大概猜出要使用二分查找，但不能得出一个完整的思路。遂上网找了参考。
先用自己的话大概说下，再贴别人的解答。
在两个有序数组中找中间值，可以看作找两个有序数组中第 k （本题中 k 为（m + n）/ 2）大小的数。
可以假定为，先找出两个数组各自第 k / 2 个元素，然后比较两者的大小。如果两者相等，则找到该数。如果两者不相等，较小者应处于第 k 小元素之前。然后再刨去较小者及其前面的元素，重复以上过程。

参考链接：http://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/11499917

从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第 (m+n)/2 小的数。所以只要解决了第 k 小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组 A 和 B 的元素个数都大于 k/2，我们比较 A[k/2-1] 和 B[k/2-1] 两个元素，这两个元素分别表示 A 的第 k/2 小的元素和 B 的第 k/2 小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。

如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，这表示 A[0] 到 A[k/2-1] 的元素都在 A 和 B合并之后的前 k 小的元素中。换句话说，A[k/2-1] 不可能大于两数组合并之后的第 k 小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设 A[k/2-1] 大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于 A[k/2-1] 小于 B[k/2-1]，所以 B[k/2-1] 至少是第（k+2）小值。但实际上，在 A 中至多存在 k/2-1 个元素小于 A[k/2-1]，B 中也至多存在 k/2-1个元素小于 A[k/2-1]，所以小于 A[k/2-1] 的元素个数至多有 k/2+ k/2-2，小于 k，这与 A[k/2-1] 是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当 A[k/2-1] = B[k/2-1] 时，我们已经找到了第 k 小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为 m。由于在 A 和 B 中分别有 k/2-1 个元素小于 m，所以 m 即是第 k 小的数。(这里可能有人会有疑问，如果 k 为奇数，则 m 不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求 k/2，然后利用 k-k/2 获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第 k 小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果 A 或者 B 为空，则直接返回 B[k-1] 或者 A[k-1]；
如果 k 为1，我们只需要返回 A[0] 和 B[0] 中的较小值；
如果 A[k/2-1] = B[k/2-1]，返回其中一个.

C实现：

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k) {  
    //always assume that m is equal or smaller than n 
    if (m > n)  
        return findKth(b, n, a, m, k);  
    if (m == 0)  
        return b[k - 1];  
    if (k == 1)  
        return min(a[0], b[0]);  
    //divide k into two parts 
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;  
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);  
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])  
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);  
    else  
        return a[pa - 1];  
}
int min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}
double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
    int total = nums1Size + nums2Size;  
    if (total & 0x1)  
        return findKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, total / 2 + 1);  
    else  
        return (findKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, total / 2)  
                + findKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, total / 2 + 1)) / 2;  
}

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Status: Accepted
Runtime: 20 ms

根据以上方法，自己用 java 实现了一下：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len = nums1.length + nums2.length;
        if(len % 2 == 0)
            return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, len / 2) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, len / 2 + 1)) / 2;
        else
            return findKth(nums1, 0, nums2, 0, len / 2 + 1);
    }

    public static double findKth(int[] a, int start_a, int[] b, int start_b, int k) {
        int m = a.length - start_a;
        int n = b.length - start_b;
        if(m > n)
            return findKth(b, start_b, a, start_a, k);
        if(m == 0)
            return b[k - 1 + start_b];
        if(k == 1)
            return Math.min(a[start_a], b[start_b]);
        int pa = Math.min(k / 2, m);
        int pb = k - pa;
        if(a[pa - 1 + start_a] < b[pb - 1 + start_b])
            return findKth(a, start_a + pa, b, start_b, k - pa);
        else if(a[pa - 1 + start_a] > b[pb - 1 + start_b])
            return findKth(a, start_a, b, start_b + pb, k - pb);
        else
            return a[pa - 1 + start_a];
    }
}

2078 / 2078 test cases passed.
Status: Accepted
Runtime: 608 ms

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