KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
- 两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
- 两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
- X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
- X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3) 的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图 中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小 值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。
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[二分图带权匹配与最佳匹配]
什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。
我们可以使用KM算法实现求二分图的最佳匹配。方法我不再赘述，可以参考tianyi的讲解。KM算法可以实现为O(N^3)。
[KM算法的几种转化]
KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。
KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。
[求最小(大)权匹配的费用流建模方法]
求最小(大)权匹配，可以用最小(大)费用最大流的方法。和二分图最大匹配的构图方法类似，添加附加源S和附加汇T，从S向二分图X集合中每个顶点连接一条权值为0，容量为1的有向边，从Y集合中每个顶点向T也连接一条权值为0，容量为1的有向边。然后把原有的边变成容量为1，权值不变的有向边。求从S到T的最小(大)费用最大流，就能求得最小(大)权匹配。
上述建模求最大权匹配的方法求得的一定是最佳匹配(如果存在完备匹配)，因为S到X集合每条边全部满流。如下图所示，最小费用最大流为2。
要求最大权匹配(不一定完备匹配)。如下图，只需再引入一个顶点A，从X集合的每个顶点向A连接一条容量为1，权值为0的边，然后再由A向T连接一条权值为0，容量不小于|X|的边，求最大费用最大流，这时是100。
最小权匹配也类似，不过新加的边权要为一个极大值，大于所有已有边权值。
[KM算法与费用流的比较]
从理论上分析，KM算法的时间复杂度比费用流要好，但是实际上和较好的费用流算法比起来运行效率是差不多的，KM算法优势仅仅在于编程容易。而对于十分稀疏的图，许多优秀的费用流算法效率是很高的。这并不说明KM算法不如费用流，毕竟在信息学竞赛中，编程的复杂度也是一个相当重要的需要考虑的因素。
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