\(Description\)
求函数\(F(x)=6\times x^7+8\times x^6+7\times x^3+5\times x^2-y\times x\)在\(x\in \left[0,100\right]\)时的最小值。
\(Solution\)
\(x\geq 0\)时\(F(x)\)为单峰凹函数，三分即可。
而且由此可知\(F(x)\)的导数应是单增的。函数最值可以转化为求导数零点问题，于是也可以二分求\(F'(x)\)的零点，或者用牛顿迭代求。
峰值函数最值也可以用模拟退火求。
练习下牛顿迭代。其它代码可以见这。
牛顿迭代：$$x=x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)}$$
对\(F(x)\)泰勒展开，\(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+\frac{F''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)
为方便计算？只保留线性部分\(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)\)，令其等于\(0\)。
就可以得到\(x=x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)}\)
多次迭代、多次选取\(x_0\)即可。
//0MS 1628K
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define eps (1e-7)
double y;
inline double f(double x){
return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*x*x-y*x;
}
inline double fd(double x){
return 42*pow(x,6)+48*pow(x,5)+21*x*x+10*x-y;
}
inline double fdd(double x){
return 252*pow(x,5)+240*pow(x,4)+42*x+10;
}
double Get_zero(double x)//求导函数零点
{
double las=x+1;
while(fabs(las-x)>eps) las=x, x=x-fd(x)/fdd(x);
return x;
}
int main()
{
int T; scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lf",&y);
double ans=1e15;
for(int i=0; i<=100; i+=10) ans=std::min(ans,f(Get_zero(i)));
printf("%.4lf\n",ans);
}
return 0;
}