在矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用中，我们讨论过像funkSVD之类的矩阵分解方法如何用于推荐。今天我们讲另一种在实际产品中用的比较多的推荐算法:贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR)，它也用到了矩阵分解，但是和funkSVD家族却有很多不同之处。下面我们来详细讨论。
1. BPR算法使用背景
在很多推荐场景中，我们都是基于现有的用户和商品之间的一些数据，得到用户对所有商品的评分，选择高分的商品推荐给用户，这是funkSVD之类算法的做法，使用起来也很有效。但是在有些推荐场景中，我们是为了在千万级别的商品中推荐个位数的商品给用户，此时，我们更关心的是用户来说，哪些极少数商品在用户心中有更高的优先级，也就是排序更靠前。也就是说，我们需要一个排序算法，这个算法可以把每个用户对应的所有商品按喜好排序。BPR就是这样的一个我们需要的排序算法。
2. 排序推荐算法背景介绍
排序推荐算法历史很悠久，早在做信息检索的各种产品中就已经在使用了。最早的第一类排序算法类别是点对方法(Pointwise Approach)，这类算法将排序问题被转化为分类、回归之类的问题，并使用现有分类、回归等方法进行实现。第二类排序算法是成对方法(Pairwise Approach)，在序列方法中，排序被转化为对序列分类或对序列回归。所谓的pair就是成对的排序，比如(a,b)一组表明a比b排的靠前。我们要讲到的BPR就属于这一类。第三类排序算法是列表方法(Listwise Approach)，它采用更加直接的方法对排序问题进行了处理。它在学习和预测过程中都将排序列表作为一个样本。排序的组结构被保持。
本文关注BPR，这里我们对排序推荐算法本身不多讲，如果大家感兴趣，可以阅读李航的A Short Introduction to Learning to Rank.
3. BPR建模思路
在BPR算法中，我们将任意用户u对应的物品进行标记，如果用户u在同时有物品i和j的时候点击了i，那么我们就得到了一个三元组$<u,i,j>$，它表示对用户u来说，i的排序要比j靠前。如果对于用户u来说我们有m组这样的反馈，那么我们就可以得到m组用户u对应的训练样本。
既然是基于贝叶斯，那么我们也就有假设，这里的假设有两个：一是每个用户之间的偏好行为相互独立，即用户u在商品i和j之间的偏好和其他用户无关。二是同一用户对不同物品的偏序相互独立，也就是用户u在商品i和j之间的偏好和其他的商品无关。为了便于表述，我们用$>_u$符号表示用户u的偏好，上面的$<u,i,j>$可以表示为：$i>_uj$。
在BPR中，这个排序关系符号$>_u$满足完全性，反对称性和传递性，即对于用户集U和物品集I：
完整性：$\forall i,j \in I: i \neq j \Rightarrow i >_u j\; \cup\; j>_u i$
反对称性：$\forall i,j \in I: i >_u j\; \cap\; j>_u i \Rightarrow i=j$
传递性：$\forall i,j,k \in I: i >_u j\; \cap\; j>_u k \Rightarrow i>_uk$
同时，BPR也用了和funkSVD类似的矩阵分解模型，这里BPR对于用户集U和物品集I的对应的$U \times I$的预测排序矩阵$\overline{X}$，我们期望得到两个分解后的用户矩阵$W$($|U| \times k$)和物品矩阵$H$($|I| \times k$)，满足$$\overline{X} = WH^T$$
这里的k和funkSVD类似，也是自己定义的，一般远远小于$|U|,|I|$。
由于BPR是基于用户维度的，所以对于任意一个用户u，对应的任意一个物品i我们期望有：$$\overline{x}_{ui} = w_u \bullet h_i = \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if}$$
最终我们的目标，是希望寻找合适的矩阵$W,H$，让$\overline{X}$和$X$最相似。读到这里，也许你会说，这和funkSVD之类的矩阵分解模型没有什么区别啊？ 的确，现在还看不出，下面我们来看看BPR的算法优化思路，就会慢慢理解和funkSVD有什么不同了。
4. BPR的算法优化思路
BPR 基于最大后验估计$P(W,H|>_u)$来求解模型参数$W,H$,这里我们用$\theta$来表示参数$W$和$H$, $>_u$代表用户u对应的所有商品的全序关系,则优化目标是$P(\theta|>_u)$。根据贝叶斯公式，我们有：$$P(\theta|>_u) = \frac{P(>_u|\theta)P(\theta)}{P(>_u)}$$
由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关，那么对于任意一个用户u来说，$P(>_u)$对所有的物品一样，所以有：$$P(\theta|>_u) \propto P(>_u|\theta)P(\theta)$$
这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集D有关，第二部分和样本数据集D无关。
对于第一部分，由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立，同一用户对不同物品的偏序相互独立，所以有：$$\prod_{u \in U}P(>_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in (U \times I \times I)}P(i >_u j|\theta)^{\delta((u,i,j) \in D)}(1-P(i >_u j|\theta))^{\delta((u,j,i) \not\in D) }$$
其中，$$\delta(b)= \begin{cases} 1& {if\; b\; is \;true}\\ 0& {else} \end{cases}$$
根据上面讲到的完整性和反对称性，优化目标的第一部分可以简化为：$$\prod_{u \in U}P(>_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in D}P(i >_u j|\theta)$$
而对于$P(i >_u j|\theta)$这个概率，我们可以使用下面这个式子来代替:$$P(i >_u j|\theta) = \sigma(\overline{x}_{uij}(\theta))$$
其中，$\sigma(x)$是sigmoid函数。这里你也许会问，为什么可以用这个sigmoid函数来代替呢? 其实这里的代替可以选择其他的函数，不过式子需要满足BPR的完整性，反对称性和传递性。原论文作者这么做除了是满足这三个性质外，另一个原因是为了方便优化计算。
对于$\overline{x}_{uij}(\theta)$这个式子，我们要满足当$i >_u j$时，$\overline{x}_{uij}(\theta) > 0$, 反之当$j >_u i$时，$\overline{x}_{uij}(\theta) < 0$，最简单的表示这个性质的方法就是$$\overline{x}_{uij}(\theta) = \overline{x}_{ui}(\theta) - \overline{x}_{uj}(\theta)$$
而$\overline{x}_{ui}(\theta) , \overline{x}_{uj}(\theta)$，就是我们的矩阵$ \overline{X}$对应位置的值。这里为了方便，我们不写$\theta$,这样上式可以表示为:$$\overline{x}_{uij} = \overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}$$
注意上面的这个式子也不是唯一的，只要可以满足上面提到的当$i >_u j$时，$\overline{x}_{uij}(\theta) > 0$，以及对应的相反条件即可。这里我们仍然按原论文的式子来。
最终，我们的第一部分优化目标转化为：$$\prod_{u \in U}P(>_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})$$
对于第二部分$P(\theta)$，原作者大胆使用了贝叶斯假设，即这个概率分布符合正太分布，且对应的均值是0，协方差矩阵是$\lambda_{\theta}I$,即$$P(\theta) \sim N(0, \lambda_{\theta}I)$$
原作者为什么这么假设呢？个人觉得还是为了优化方便，因为后面我们做优化时，需要计算$lnP(\theta) $，而对于上面假设的这个多维正态分布，其对数和$||\theta||^2$成正比。即：$$lnP(\theta) = \lambda||\theta||^2$$
最终对于我们的最大对数后验估计函数$ln\;P(\theta|>_u) \propto ln\;P(>_u|\theta)P(\theta) = ln\;\prod\limits_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + ln P(\theta) = \sum\limits_{(u,i,j) \in D}ln\sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + \lambda||\theta||^2\;$
这个式子可以用梯度上升法或者牛顿法等方法来优化求解模型参数。如果用梯度上升法，对$\theta$求导，我们有： $$\frac{\partial ln\;P(\theta|>_u)}{\partial \theta} \propto \sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}\frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} + \lambda \theta$$
由于$$\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj} = \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if} - \sum\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{jf}$$
这样我们可以求出：$$\frac{\partial (\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})}{\partial \theta} = \begin{cases} (h_{if}-h_{jf})& {if\; \theta = w_{uf}}\\ w_{uf}& {if\;\theta = h_{if}} \\ -w_{uf}& {if\;\theta = h_{jf}}\end{cases}$$
有了梯度迭代式子，用梯度上升法求解模型参数就容易了。下面我们归纳下BPR的算法流程。
5. BPR算法流程
下面简要总结下BPR的算法训练流程：
输入：训练集D三元组，梯度步长$\alpha$， 正则化参数$\lambda$,分解矩阵维度k。
输出：模型参数，矩阵$W,H$
1. 随机初始化矩阵$W,H$
2. 迭代更新模型参数：
$$w_{uf} =w_{uf} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}(h_{if}-h_{jf}) + \lambda w_{uf}) $$
$$h_{if} =h_{if} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}w_{uf} + \lambda h_{if}) $$
$$h_{jf} =h_{jf} + \alpha(\sum\limits_{(u,i,j) \in D} \frac{1}{1+e^{\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}}}(-w_{uf}) + \lambda h_{jf}) $$
3. 如果$W,H$收敛，则算法结束，输出W,H，否则回到步骤2.
当我们拿到$W,H$后，就可以计算出每一个用户u对应的任意一个商品的排序分：$\overline{x}_{ui} = w_u \bullet h_i $，最终选择排序分最高的若干商品输出。
6. BPR小结
BPR是基于矩阵分解的一种排序算法，但是和funkSVD之类的算法比，它不是做全局的评分优化，而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的，funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集，而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。
在实际产品中，BPR之类的推荐排序在海量数据中选择极少量数据做推荐的时候有优势，因此在某宝某东等大厂中应用也很广泛。由于BPR并不复杂，下一篇我会用tensorflow来做一个BPR的实践，敬请期待。
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