二叉查找树（BST)、平衡二叉树(AVL树)（只有插入说明）
二叉查找树(BST)
特殊的二叉树，又称为排序二叉树、二叉搜索树、二叉排序树。
二叉查找树实际上是数据域有序的二叉树，即对树上的每个结点，都满足其左子树上所有结点的数据域均小于或等于根结点的数据域，右子树上所有结点的数据域均大于根结点的数据域。如下图所示：
二叉查找树通常包含查找、插入、建树和删除操作。
二叉查找树的创建
对于一棵二叉查找树，其创建与二叉树的创建很类似，略有不同的是，二叉查找树，为了保证整棵树都关于根结点的大小呈左小右大的特征，在创建时，需要根据当前结点的大小来判断插入位置，给出如下代码：
template<typename T>
void BSTree<T>::createBSTreeByFile(ifstream &f){
T e;
queue<BSNode<T>*> q;
while(!f.eof()){
InputFromFile(f, e);
Insert(root, e);
}
}
template<typename T>
void BSTree<T>::Insert(BSNode<T>* &t, T x){//得用指针的引用，不然传参时由于形参实例化，并不能成功创建二叉树
if(t==NULL){
t = new BSNode<T>;
t->data = x;
t->lchild = t->rchild = NULL;
return;
}
if(x<=t->data){
Insert(t->lchild, x);
}
else{
Insert(t->rchild, x);
}
}
二叉查找树的查找
二叉查找树的查找有递归和非递归两种，对于递归方式，其递归边界为树的终止结点，非递归方式则采取对树中所有结点采取BFS或者DFS进行遍历的方式。
对于非递归方式，给出采取DFS的遍历方式，在这种方式中，通常采用入栈的方式，来访问每个结点，而根据访问的先后顺序，又分为，前序、中序和后序三种遍历方式。以前序遍历为例，通常以根、左、右的顺序访问遍历每个结点，而中序遍历方式，则以左、根、右的顺序遍历，后序则以左右根的顺序来访问。下面给出三种遍历方式的代码：前序遍历：
1 template<typename T>
2 void BSTree<T>::PreOrderTraverse(void(*visit)(BSNode<T>&))const{
3 stack<BSNode<T>*> s;
4 BSNode<T> *t = root;
5 while(NULL!=t || !s.empty()){
6 if(NULL!=t){
7 s.push(t);
8 visit(*t);
9 t = t->lchild;
10 }
11 else{
12 t = s.top();
13 s.pop();
14 t = t->rchild;
15 }
16 }
17 cout<<endl;
18 }
中序遍历：
1 template<typename T>
2 void BSTree<T>::InOrderTraverse(void(*visit)(BSNode<T>&))const{
3 stack<BSNode<T>*> s;
4 BSNode<T> *q;
5
6 q = root;
7
8 while(!s.empty()||q!=NULL){
9 if(q!=NULL){
10 s.push(q);
11 q = q->lchild;
12 }
13 else{
14 q = s.top();
15 s.pop();
16 visit(*q);
17 q = q->rchild;
18 }
19 }
20 cout<<endl;
21 }
后序遍历，对于后序遍历，直接采用入栈的方式进行访问，是不行的，因为根结点被访问两次，无法保证你在弹栈后，对该结点如何操作，因此，需要另设置一个flag参数，来指明该节点是否左右子树都访问过，代码如下，我这里是令定义一个结构体，来实现：
/*结构体部分*/
enum Tags{Left, Right};
template<typename T>struct StackElem
{
BSNode<T> *p;
Tags flag;
};
/*后序遍历代码部分*/
template<typename T>
void BSTree<T>::PostOrderTraverse(void(*visit)(BSNode<T>&))const{
StackElem<T> se;
stack<StackElem<T> > s;
BSNode<T> *t;
t = root;
if(t==NULL){
return;
}
while(t!=NULL||!s.empty()){
while(t!=NULL){
se.flag = Left;
se.p = t;
s.push(se);
t = t->lchild;
}
se = s.top();
s.pop();
t = se.p;
if(se.flag==Left){
se.flag = Right;
s.push(se);
t = t->rchild;
}
else{
visit(*t);
t = NULL;
}
}
}
以下是递归实现部分，递归实现，则是以二叉树边界为递归边界，前面已经说过了，其余逻辑与非递归一致，因为递归的过程，可以看作是一个入栈和弹栈的过程，即，在未到达边界时，通过递归，来访问下一个结点，例如左结点，当触及边界，则访问该结点，由于每次递归状态都被计算机保存，因此，在访问一个结点以后，返回上一个结点的状态，会依次访问上去。
递归前序遍历：
1 template<typename T>
2 void BSTree<T>::PreTraverse(BSNode<T> *t, void(*visit)(BSNode<T>&))const{
3 if(t==NULL){
4 return;
5 }
6 else{
7 visit(*t);
8 PreTraverse(t->lchild, visit);
9 PreTraverse(t->rchild, visit);
10 }
11 }
递归中序遍历：
1 template<typename T>
2 void BSTree<T>::InTraverse(BSNode<T> *t, void(*visit)(BSNode<T>&))const{
3 if(t==NULL){
4 return;
5 }
6 else{
7 InTraverse(t->lchild, visit);
8 visit(*t);
9 InTraverse(t->rchild, visit);
10 }
11 }
递归后序遍历：
1 template<typename T>
2 void BSTree<T>::PostTraverse(BSNode<T> *t, void(*visit)(BSNode<T>&))const{
3 if(t!=NULL){
4 PostTraverse(t->lchild, visit);
5 PostTraverse(t->rchild, visit);
6 visit(*t);
7 }
8 }
平衡二叉树（AVL树）
平衡二叉树是由前苏联的两位数学家G.M.Adelse-Velskil和E.M.Landis提出，因此一般也称作AVL树，AVL树本质还是一棵二叉查找树，只是在其基础上增加了“平衡”的要求。所谓平衡是指，对AVL树的任意结点来说，其左子树与右子树的高度之差的绝对值不超过1，其中左子树与右子树的高度因子之差称为平衡因子。
如下所示，就是一棵由{1，2，3，4，5，7，8}构建的AVL树：
只要能随时保证每个结点平衡因子的绝对值不超过1，AVL的高度就始终能保持O(logn)级别，由于需要对每个结点都得到平衡因子，因此需要在树的结构中加入一个变量height来记录以当前结点为根结点的子树的高度。
AVL树的创建
AVL树的创建是基于二叉查找树的插入代码的基础上，增加平衡操作的。需要从插入的结点开始从下往上判断结点是否失衡，因此，需要在调用insert函数以后，更新当前子树的高度，并在这之后根据树型来进行相应的平衡操作。那么，怎么进行平衡操作呢？AVL树的插入是需要采取左旋或者右旋操作的，即，插入后，由于插入操作，导致某棵子树的高度超过了另一棵子树高度的2个结点高度，这样就破坏了树的平衡性，需要做出调整。
右旋操作
如下所示一棵简单的AVL树，对其进行插入操作以后：
一棵简单的AVL树
变成了下图这样的AVL树：
这样子就失衡了，所谓右旋操作，就是将这棵AVL树，从最靠近插入结点的失衡结点处，通过往右子树调整，使整棵树的每个结点的平衡因子变为正常，不如上图的树，离插入节点3最近的失衡结点是7，
则可以通过下图所示的操作，来平衡二叉树，即调整整棵树平衡因子：
同样，左旋也与此类似。但是，如果5结点本身就有右结点，即如下所示：
这样，在经过右旋操作以后，这棵树还是不平衡的，旋转后这棵树如下所示：
因此，还需要进行一次旋转，显然，继续右旋已经无法满足我们的需求，那么要如何进行操作，才能使这棵树回复平衡呢？（在后续中，会进行讲解）
左旋操作
左旋操作与右旋操作是类似的，都属于对子树的单旋转。
左旋与右旋一样，同样也存在这样的问题，如果该树的右子树的左结点存在，则单一通过左旋是做不到的，那么应该如何处理呢？
其实，以L和R来表示，插入结点的位置，有以下四种情况：
从上表可以看出，左旋和右旋两种情况中，左右结点若存在的话，就是上表中的RL和LR情况。则，只需要对两种情况分别按照上表采取相应的操作就可以解决，如下图所示：
LR型
RL型
由此，就能实现AVL树的平衡，下面给出代码：
AVLTree.h
1 #ifndef _AVLTREE_H_
2 #define _AVLTREE_H_
3 #include "C.h"
4 #include "AVLNode.h"
5 #include "Function.h"
6
7 typedef int T;
8
9 using namespace std;
10
11 template<typename T>
12 class AVLTree{
13 private:
14 AVLNode<T> *root;
15 Destroy(AVLNode<T> *t){
16 if(t!=NULL){
17 Destroy(t->lchild);
18 Destroy(t->rchild);
19 delete t;
20 t = NULL;
21 }
22 return 0;
23 }
24 public:
25 AVLTree(){
26 root = NULL;
27 }
28 ~AVLTree(){
29 Destroy(root);
30 }
31
32 AVLNode<T>* newAVLNode(T x); //创建新结点
33 void Insert(AVLNode<T>* &t, T x);
34 void createAVLTreeFromFile(ifstream &f);
35 AVLNode<T>* Root()const;
36 int AVLTreeDepth(AVLNode<T> *t)const;
37 int getAVLTreeHeight(AVLNode<T>* t)const; //获取当前结点的高度
38 int getBalanceFactor(AVLNode<T>* t)const; //计算当前结点的高度
39 void updateAVLNodeHeight(AVLNode<T>* &t);
40 T getElem(AVLNode<T>* t)const;
41 bool getElemExist(AVLNode<T>* &t)const;
42 void LeftRotation(AVLNode<T>* &t);
43 void RightRotation(AVLNode<T>* &t);
44 void PreOrderTraverse(AVLNode<T>* t, void(*visit)(AVLNode<T>&))const;
45 void PostOrderTraverse(AVLNode<T>* t, void(*visit)(AVLNode<T>&))const;
46 };
47
48 template<typename T>
49 AVLNode<T>* AVLTree<T>::newAVLNode(T x){
50 AVLNode<T>* avlnode = new AVLNode<T>;
51 avlnode->data = x;
52 avlnode->height = 1;
53 avlnode->lchild = avlnode->rchild = NULL;
54 return avlnode;
55 }
56
57 template<typename T>
58 void AVLTree<T>::Insert(AVLNode<T>* &t, T x){
59 if(t==NULL){
60 t = newAVLNode(x);
61 return;
62 }
63 if(x==t->data){//结点已经存在，直接返回
64 return;
65 }
66 if(x < t->data){
67 Insert(t->lchild, x);
68 updateAVLNodeHeight(t);
69 if(getBalanceFactor(t)==2){
70 if(getBalanceFactor(t->lchild)==1){
71 RightRotation(t);
72 }
73 else if(getBalanceFactor(t->lchild)==-1){
74 LeftRotation(t->lchild);
75 RightRotation(t);
76 }
77 }
78 }
79 else{
80 Insert(t->rchild, x); //值比当前结点大，往右子树插入
81 updateAVLNodeHeight(t); //更新树高
82 if(getBalanceFactor(t)==-2){
83 if(getBalanceFactor(t->rchild)==-1){ //RR型
84 LeftRotation(t);
85 }
86 else if(getBalanceFactor(t->rchild)==1){
87 RightRotation(t->rchild);
88 LeftRotation(t);
89 }
90 }
91 }
92 }
93
94 template<typename T>
95 void AVLTree<T>::createAVLTreeFromFile(ifstream &f){
96 T e;
97 while(!f.eof()){
98 InputFromFile(f, e);
99 Insert(root, e);
100 }
101 }
102
103 template<typename T>
104 AVLNode<T>* AVLTree<T>::Root()const{
105 return root;
106 }
107
108 template<typename T>
109 int AVLTree<T>::AVLTreeDepth(AVLNode<T> *t)const{
110 int i,j;
111 if(t==NULL){
112 return 0;
113 }
114 else{
115 i = AVLTreeDepth(t->lchild);
116 j = AVLTreeDepth(t->rchild);
117 }
118 return i>j ? i+1 : j+1;
119 }
120
121 template<typename T>
122 int AVLTree<T>::getAVLTreeHeight(AVLNode<T>* t)const{
123 if(t==NULL){
124 return 0;
125 }
126 return t->height;
127 }
128
129 template<typename T>
130 int AVLTree<T>::getBalanceFactor(AVLNode<T>* t)const{
131 if(t==NULL){
132 return 0;
133 }
134 return getAVLTreeHeight(t->lchild) - getAVLTreeHeight(t->rchild);
135 }
136
137 template<typename T>
138 void AVLTree<T>::updateAVLNodeHeight(AVLNode<T>* &t){
139 t->height = max(getAVLTreeHeight(t->lchild), getAVLTreeHeight(t->rchild)) + 1;
140 }
141
142 template<typename T>
143 T AVLTree<T>::getElem(AVLNode<T>* t)const{
144 return t->data;
145 }
146
147 template<typename T>
148 bool AVLTree<T>::getElemExist(AVLNode<T>* &t)const{//判断当前结点是否为空
149 if(t!=NULL){
150 return true;
151 }
152 return false;
153 }
154
155 template<typename T>
156 void AVLTree<T>::LeftRotation(AVLNode<T>* &t){
157 AVLNode<T> *temp = t->rchild;
158 t->rchild = temp->lchild;
159 temp->lchild = t;
160 updateAVLNodeHeight(t);
161 updateAVLNodeHeight(temp);
162 t = temp;
163 }
164
165 template<typename T>
166 void AVLTree<T>::RightRotation(AVLNode<T>* &t){
167 AVLNode<T> *temp = t->lchild;
168 t->lchild = temp->rchild;
169 temp->rchild = t;
170 updateAVLNodeHeight(t);
171 updateAVLNodeHeight(temp);
172 t = temp;
173 }
174
175 template<typename T>
176 void AVLTree<T>::PreOrderTraverse(AVLNode<T>* t, void(*visit)(AVLNode<T>&))const{
177 if(t!=NULL){
178 visit(*t);
179 PreOrderTraverse(t->lchild, visit);
180 PreOrderTraverse(t->rchild, visit);
181 }
182 }
183
184 template<typename T>
185 void AVLTree<T>::PostOrderTraverse(AVLNode<T>* t, void(*visit)(AVLNode<T>&))const{
186 if(t!=NULL){
187 PostOrderTraverse(t->lchild, visit);
188 PostOrderTraverse(t->rchild, visit);
189 visit(*t);
190 }
191 }
192 #endif // _AVLTREE_H_
Function.h
1 #ifndef _FUNCTION_H_
2 #define _FUNCTION_H_
3 #include "C.h"
4 #include "AVLNode.h"
5 #include "AVLTree.h"
6
7 typedef int T;
8
9 using namespace std;
10
11 bool InputFromFile(ifstream &f, T &e){
12 f>>e;
13 return f.good();
14 }
15
16 void visit(AVLNode<T> &t){
17 cout<<t.data<<" ";
18 }
19
20 #endif // _FUNCTION_H_
C.h
1 #ifndef _C_H_ 2 #define _C_H_ 3 #include<iostream> 4 #include<string> 5 #include<stdio.h> 6 #include<algorithm> 7 #include<map> 8 #include<math.h> 9 #include<queue> 10 #include<stack> 11 #include<vector> 12 #include<fstream> 13 #include<assert.h> 14 #endif // _C_H_
AVLNode.h
1 #ifndef _AVLNODE_H_
2 #define _AVLNODE_H_
3
4 typedef int T;
5
6 template<typename T>
7 struct AVLNode{
8 int height; //平衡因子
9 T data; //数据域
10 AVLNode<T> *lchild, *rchild; //指针域
11 };
12 #endif // _AVLNODE_H_
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