前言
前面一篇文章，笔者就二叉查找树进行了一些解释与实现，这篇文章笔者将会就平衡二叉树
做一些总结与实现。读者若不了解二叉查找树的话，可以参考这篇文章：
http://blog.csdn.net/kiritor/article/details/8889176
在学习平衡二叉树之前，我们先回顾下二叉查找树的特点和性质。
基于二叉查找树以下的操作是低性能的：
1、如果我们向一棵空的二叉查找树中插入一个预先排好序的序列的（升序），根据插入
操作我们会发现形成的二叉树结点层次太深，且没有左儿子结点。情况如下：
这样就造成了二叉树的深度过深，明显不合理。
2、在二叉查找树的情况下，对于任意个单一的操作我们不再保证O（logN）的时间界
但是我们可以证明的是在连续M次操作时间花费可能达到O（MlogN）,消耗太高了。
基于上述的原因，我们就需要考虑平衡二叉树了。
平衡二叉树
首先需要明白的是平衡二叉树是对二叉查找的一种改进，对于二叉查找树的一个明显的
缺点就是，树的结构仍旧具有极大的变动性，最坏的情况下就是一棵单支二叉树，丢失了二叉
查找树一些原有的优点。
平衡二叉树定义（AVL）：它或者是一棵空树，或者是具有一下性质的二叉查找树--
它的结点左子树和右子树的深度之差不超过1,而且该结点的左子树和右子树都是一棵
平衡二叉树。
平衡因子：结点左子树的深度-结点右子树的深度。（0、1、-1）。
转换为平衡二叉树之后的二叉树为：
平衡保持
很显然，平衡二叉树旨在“平衡”二字，其平衡是如何保持的呢？换句话说，二叉查找树是
如何转换为平衡二叉树的呢？就像上面两张图片，到底如何转换的呢？基本的思想就是:
当二叉查找树中插入一个结点时，首先检查是否因为插入而破坏了平衡。若破坏了则
找出其中的最小不平衡二叉树，在保持二叉查找树特性的情况下，调整最小不平衡子树中结
点之间的关系，以达到平衡。
最小不平衡二叉树指距离插入结点最近且以平衡因子的绝对值大于1的结点作为根的子树。
那么最小不平衡二叉树结点的关系到底是如何进行调整的呢？分为四种情况讨论。
四种不平衡类型
有四种情况可以导致二叉树不平衡：（以根结点为例）
1、LL型（右旋操作）：插入一个新的结点到根结点的左子树的左子树，导致根结点的平衡
因子1变为2。
其右旋操作我们以一个具体的例子掌握：
以第一列为例，在结点2的左子树插入结点D，插入后2结点的平衡因子变为1,导致
结点5(根结点）的平衡因子变为2，则结点5为根结点的子树是最小不平衡子树。调整时
将结点5的左孩子3向右上旋转代替结点5为根结点，将根结点右下旋转为3的右子树的根
结点，而结点3的原右子树变为结点5的左子树。
在结点2的右孩子处插入的情况原理一样的。
2、RR型（左旋操作）：插入一个新的结点到根结点的右子树的右子树，导致根结点的平衡
因子1变为2。
其具体的操作我们同样以一个例子为例：
其操作步骤与右旋操作没有什么太大的区别，这里笔者就不详述过程了。
3、LR型（左旋+右旋）：在根结点的左孩子的右子树上插入结点，插入情况笔者就
不给实例图了。直接演示其操作过程。
可见的是LR型需要两次的旋转才能达到要求，不过在进行右旋操作的时候需要注意C
的位置。
4、RL型（右旋+左旋）在根结点的右子树的左子树上插入结点。同样以一个实例图
来演示操作。
完整源码实现：
根据上述的旋转操作，我们简单的实现二叉平衡树：
package com.kiritor;上述main函数中我们简单的插入了1-199个数至二叉树中，如果是二叉查找树的话，可以
/**
*二叉平衡树简单实现
*@author kiritor
*/
public class AvlTree< T extends Comparable< ? super T>>
{
private static class AvlNode< T>{//avl树节点
AvlNode( T theElement )
{
this( theElement, null, null );
}
AvlNode( T theElement, AvlNode< T> lt, AvlNode< T> rt )
{
element = theElement;
left = lt;
right = rt;
height = 0;
}
T element; // 节点中的数据
AvlNode< T> left; // 左儿子
AvlNode< T> right; // 右儿子
int height; // 节点的高度
}
private AvlNode< T> root;//avl树根
public AvlTree( )
{
root = null;
}
//在avl树中插入数据，重复数据复略
public void insert( T x )
{
root = insert( x, root );
}
//在avl中删除数据,这里并未实现
public void remove( T x )
{
System.out.println( "Sorry, remove unimplemented" );
}
//在avl树中找最小的数据
public T findMin( )
{
if( isEmpty( ) )
System.out.println("树空");;
return findMin( root ).element;
}
//在avl树中找最大的数据
public T findMax( )
{
if( isEmpty( ) )
System.out.println("树空");
return findMax( root ).element;
}
//搜索
public boolean contains( T x )
{
return contains( x, root );
}
public void makeEmpty( )
{
root = null;
}
public boolean isEmpty( )
{
return root == null;
}
//排序输出avl树
public void printTree( )
{
if( isEmpty( ) )
System.out.println( "Empty tree" );
else
printTree( root );
}
private AvlNode< T> insert( T x, AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return new AvlNode< T>( x, null, null );
int compareResult = x.compareTo( t.element );
if( compareResult < 0 )
{
t.left = insert( x, t.left );//将x插入左子树中
if( height( t.left ) - height( t.right ) == 2 )//打破平衡
if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 )//LL型（左左型）
t = rotateWithLeftChild( t );
else //LR型（左右型）
t = doubleWithLeftChild( t );
}
else if( compareResult > 0 )
{
t.right = insert( x, t.right );//将x插入右子树中
if( height( t.right ) - height( t.left ) == 2 )//打破平衡
if( x.compareTo( t.right.element ) > 0 )//RR型（右右型）
t = rotateWithRightChild( t );
else //RL型
t = doubleWithRightChild( t );
}
else
; // 重复数据，什么也不做
t.height = Math.max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1;//更新高度
return t;
}
//找最小
private AvlNode< T> findMin( AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return t;
while( t.left != null )
t = t.left;
return t;
}
//找最大
private AvlNode< T> findMax( AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return t;
while( t.right != null )
t = t.right;
return t;
}
//搜索（查找）
private boolean contains( T x, AvlNode t )
{
while( t != null )
{
int compareResult = x.compareTo( (T) t.element );
if( compareResult < 0 )
t = t.left;
else if( compareResult > 0 )
t = t.right;
else
return true; // Match
}
return false; // No match
}
//中序遍历avl树
private void printTree( AvlNode< T> t )
{
if( t != null )
{
printTree( t.left );
System.out.println( t.element );
printTree( t.right );
}
}
//求高度
private int height( AvlNode< T> t )
{
return t == null ? -1 : t.height;
}
//带左子树旋转,适用于LL型
private AvlNode< T> rotateWithLeftChild( AvlNode< T> k2 )
{
AvlNode< T> k1 = k2.left;
k2.left = k1.right;
k1.right = k2;
k2.height = Math.max( height( k2.left ), height( k2.right ) ) + 1;
k1.height = Math.max( height( k1.left ), k2.height ) + 1;
return k1;
}
//带右子树旋转，适用于RR型
private AvlNode< T> rotateWithRightChild( AvlNode< T> k1 )
{
AvlNode< T> k2 = k1.right;
k1.right = k2.left;
k2.left = k1;
k1.height = Math.max( height( k1.left ), height( k1.right ) ) + 1;
k2.height = Math.max( height( k2.right ), k1.height ) + 1;
return k2;
}
//双旋转，适用于LR型
private AvlNode< T> doubleWithLeftChild( AvlNode< T> k3 )
{
k3.left = rotateWithRightChild( k3.left );
return rotateWithLeftChild( k3 );
}
//双旋转,适用于RL型
private AvlNode< T> doubleWithRightChild( AvlNode< T> k1 )
{
k1.right = rotateWithLeftChild( k1.right );
return rotateWithRightChild( k1 );
}
// Test program
public static void main( String [ ] args )
{
AvlTree< Integer> t = new AvlTree< Integer>( );
final int NUMS = 200;
final int GAP = 17;
System.out.println( "Checking... (no more output means success)" );
for( int i = GAP; i != 0; i = ( i + GAP ) % NUMS )
t.insert( i );
t.printTree( );
System.out.println(t.height(t.root));
}
}
知道的是二叉树的层树应该为199，但是实际情况如何呢？
