1. 从一个股价的问题说起
假如你获得了一种可以预测未来某公司股价的能力。下图是你预测的股价情况，那么你会在哪一天买入，哪一天卖出呢？
你可能认为可以在这17天当中的股价最低的那天（第7天）买入，然后在之后的股价最高的那天（第11天）卖出；或者反过来在整段时间内股价最高的那天卖出，然后在之前的股价最低的那天买入。如果这种策略是可行的，那么确定最大收益将非常简单。但这种策略不是经常奏效的。比如下图的这种情况：
很容易看出在第2天买入，第3天卖出，将获得最大的收益。但第二天并非最低（事实上股价最低是第4天），第3天也并非股价最高（股价最高是第1天）。
2. 暴力方法(穷举法 Exhaustive method)求解
我们最容易想到的方法应该是暴力求解方法（事实上在条件允许的时候，暴力破解方法不失为是一种好方法）。分析该方法可发现，n天中我们需要尝试的组合将有
public static void main(String[] args) { int[] priceArray = new int[] { // 100, 113, 110, 85, // 105, 102, 86, 63, // 81, 101, 94, 106, // 101, 79, 94, 90, // 97 }; int maxDifference = Integer.MIN_VALUE; int startDay = -1; int endDay = -1; for (int i = 0; i < priceArray.length; i++) { int startPrice = priceArray[i]; for (int j = i + 1; j < priceArray.length; j++) { int endPrice = priceArray[j]; int difference = endPrice - startPrice; if (difference > maxDifference) { maxDifference = difference; startDay = i; endDay = j; } } } System.out.println("第" + startDay + "天买入,第" + endDay + "天卖出可获得最大差价：" + maxDifference); }
运行结果：第7天买入,第11天卖出可获得最大差价：43
3. 最大子数组问题
穷举法(Exhaustive method)虽简单，但往往不是最优方法。那有没有更好的方法呢？
我们从一个稍微不同的角度来看待输入的数据。我们的目的是寻找一段时间，使得第一天到最后一天的股价净变化最大。因此我们不再从每日价格的角度去看待输入的数据，而是考察每日价格的变化。如果把每日价格的变化集合到数组array，如下图，那么该问题就变成了：在array中找出一个子数组（即最大子数组），使得子数组的所有元素之和最大。
乍一看，这种问题的转化并没有给我们带来什么好处。如果采用暴力破解方法对于一段n天的时间，我们仍然要检查
接下来，我们寻找求最大子数组的更高效方法。需要提前说明的是，最大子数组有些时候可能有多个；只有当数组内包含负元素时，讨论最大子数组问题才有意义，因为对于非负数组，整个数组必然是最大子数组。
4. 采用分治法(Divide and Conquer)求解最大子数组
在第一篇中我们已经接触过分治策略，它需要考虑以下三步：
① 分解：分解意味着我们要将数组分为两个规模尽量相等的子数组。也就是说，如果数组a[low~high]为将要求解的数组，我们要将a[low~high]分为a1[low~mid]，a2[mid~high]，其中mid = (high – low) / 2。
② 解决：解决意味着我们要递归的解决子数组的求解。这里需要注意的是，最大子数组所处的位置可能有以下三种情况：在a1中；在a2中；跨越中点。
③ 合并：通过比较以上三种情况求出的最大子数组，得出真正的最大子数组。
下面给出分治法(Divide and Conquer)的Java实现代码：
/** * 分治法 * * @param args */ public static void main(String[] args) { int[] differenceArray = new int[] { // 13, -3, -25, -20, // -3, -16, -23, 18, // 20, -7, 12, -5, // -22, 15, -4, 7, // }; Result result = findMaxSubarray(differenceArray, 0, differenceArray.length - 1); System.out.println("第" + result.startDay + "天买入,第" + result.endDay + "天卖出可获得最大差价：" + result.maxDifference); } /** * 找出最大子数组 * * @param array * @return */ private static Result findMaxSubarray(int array[], int low, int high) { if (low == high) { Result result = new Result(); result.startDay = low; result.endDay = low; result.maxDifference = array[low]; return result; } else { Result leftResult = findMaxSubarray(array, low, (high + low) / 2); Result rightResult = findMaxSubarray(array, (high + low) / 2 + 1, high); Result crossingMiddleResult = findMaxSubarrayCrossingMiddle(array, low, high); int maxDifference = Math.max(Math.max(leftResult.maxDifference, rightResult.maxDifference), crossingMiddleResult.maxDifference); if (maxDifference == leftResult.maxDifference) { return leftResult; } else if (maxDifference == rightResult.maxDifference) { return rightResult; } else { return crossingMiddleResult; } } } /** * 找出跨越中点的最大子数组 * */ private static Result findMaxSubarrayCrossingMiddle(int[] array, int low, int high) { Result result = new Result(); int maxLeftSum = Integer.MIN_VALUE; int maxRightSum = Integer.MIN_VALUE; int sum = 0; int mid = (high + low) / 2; for (int i = mid; i >= 0; i--) { sum += array[i]; if (sum > maxLeftSum) { maxLeftSum = sum; result.startDay = i; } } sum = 0; for (int i = mid; i < array.length; i++) { sum += array[i]; if (sum > maxRightSum) { maxRightSum = sum; result.endDay = i; } } result.maxDifference = maxLeftSum + maxRightSum; return result; } static class Result { public int startDay; public int endDay; public int maxDifference; }
结果为：第7天买入,第11天卖出，可获得最大差价：43
下面我们建立一个递归式来描述递归过程的运算时间。
① 对于low = high的基本情况(base case)，花费常量时间θ(1)。
② 对于low ≠ hight的递归情况(recursive case)，两次递归花费2T(n / 2)时间，findMaxSubarrayCrossingMiddle方法花费时间θ(n)，其余花费常量时间θ(1)，因此一共花费2T(n / 2) + θ(n) + θ(1)。即：
解得T(n) = θ(nlgn)。在n较大时，该方法将打败穷举法(Exhaustive method)。
5. 另一种时间为线性的方法
我们考虑这么一种方法：从数组的最左边开始向右扩展，记录扩展过程中的最大子数组。若已知array[0~j]的最大子数组，基于如下方法将解扩展为array[0~j+1]的最大子数组：array[0~j+1]的最大子数组要么是array[0~j]的最大子数组，要么是array[i~j+1]（0≤i≤j+1）。在已知array[0~j]的最大子数组的情况下，可以在线性时间内找出形如array[i~j+1]的最大子数组。
ps：以上内容均摘自《算法导论》中文译本。本人只是提取出文中个人认为比较重要的点 加入了一些个人理解仅供参考。