一、图像梯度的定义
图像函数f(x,y)在点(x,y)的梯度是一个具有大小和方向的矢量，设为Gx 和 Gy 分别表示x方向和y方向的梯度，这个梯度的矢量可以表示为：
这个矢量的幅度为
方向角为：
对于数字图像而言，相当于对二维离散函数求梯度，如下：
G(x,y) = dx(i,j) + dy(i,j);
dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);
dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);
数字图像中，更多的使用差分来近似导数，最简单的梯度近似表达式如下：
梯度的方向是函数f(x,y)变化最快的方向，当图像中存在边缘时，一定有较大的梯度值，相反，当图像中有比较平滑的部分时，灰度值变化较小，则相应的梯度也较小，图像处理中把梯度的模简称为梯度，由图像梯度构成的图像成为梯度图像(we can get the gradient image through computing the gradient of each pixel in the image)
经典的图像梯度算法是考虑图像的每个像素的某个邻域内的灰度变化，利用边缘临近的一阶或二阶导数变化规律，对原始图像中像素某个邻域设置梯度算子，通常我们用小区域模板进行卷积来计算，有Sobel算子、Robinson算子、Laplace算子等。
二、图像一阶微分应用
首先看一下数学中一维的微分公式Δf = f(x+1) – f(x), 对于一幅二维的数字图像f(x,y)而言，需要完
成XY两个方向上的微分，所以有如下的公式：
分别对X,Y两个方向上求出它们的偏微分，最终得到梯度Delta F.
对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算
子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。最常见的算子为Roberts算子，其它
常见还有Sobel，Prewitt等算子。以Roberts算子为例的X,Y的梯度计算演示如下图：
图像微分(梯度计算)是图像边缘提取的重要的中间步骤，根据X,Y方向的梯度向量值，可以
得到如下两个重要参数振幅magnitude, 角度theta，计算公式如下：
Theta = tan-1(yGradient/xGradient)
magnitude表示边缘强度信息
theta预言边缘的方向走势。
假如对一幅数字图像，求出magnitude之后与原来每个像素点对应值相加，则图像边缘将被
大大加强，轮廓更加明显，是一个很典型的sharp filter的效果。