POJ 3017 Cut the Sequence （单调队列优化DP）

 

 

 

题意：

　　给定含有n个元素的数列a，要求将其划分为若干个连续子序列，使得每个序列的元素之和小于等于m，问最小化所有序列中的最大元素之和为多少？（n<=10⁵。例：n=8, m=17，8个数分别为2 2 2 | 8 1 8 |1 2，答案为12。）

 

 

思路：

　　想明白一个队列+一个set就能完美解决这个问题？

　　首先DP的转移式子是：dp[i]=min( dp[j] +max[j+1, i]  )，且sum[i]-sum[j]<=m，j为枚举的断开处。暴力寻找一个合适的j的复杂度为O(n²)。那么问题就在于如何寻找这个合适的j。

　　先假设j的范围是(low, i]，而max是随着j的增大单调不减的，则max[k,i]>=max[p,i]且k<p是肯定的。那么如果出现max[k,i]=max[p,i]且k<p的话，j=k明显更佳，因为dp[k]<=dp[p]是肯定的！那么如果出现max[k,i]>max[p,i]且k<p的话，取哪个就难说了，也是因为dp[k]<=dp[p] 。

　　根据转移式子知道，j肯定是不跟i同组的，这是根据dp[j]的定义来决定的。那么j有可能的取值为low，或者为k（a[k]>a[i]），那么单调队列就形成了，队列中保存下标，表示所有a[k]>a[i]且low<=k<=i。

　　但是这队列有什么用？值val可能等于队列中任一元素u，而val=dp[u]+max[u+1,i]是没有什么规律的。直接将所有val装进set中，最小的set.begin()就是我们要找的答案了。如果维护单调队列时需要删除怎么办？直接将算出来的val在set中删除。

　　注意：如果队列为空，即a[i]是a[low,i]中的最大值，那么最多只能取j=low。如果low一旦改变了，队头元素也有可能改变喔~因为队头算出来的val可能是根据更小的low算出来的。由于多个val相同的情况是存在的，所以用multiset。

 

 

 

 

//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <deque>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
#define pii pair<int,int>
#define back que[rear-1]
#define INF 0x7f7f7f7f
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
const double PI  = acos(-1.0);
const int N=100100;
LL sum[N], has[N], dp[N];
int a[N], que[N], top, rear, low;
multiset<LL> sett;
LL cal(int n,LL m)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(a[i]>m)  return -1;
        while( sum[i]-sum[low]>m )  low++;

        //过期的只可能在top处
        while( top<rear && que[top]<=low )
            sett.erase( has[top++] );

        if(top<rear)
        {
             //队头的val有可能会改变，因为下限low提高了
            sett.erase( has[top] );
            has[top]=dp[low]+a[ que[top] ];
            sett.insert( has[top] );
        }
        //插入队列先
        while(top<rear && a[i]>a[ que[rear-1] ] )
            sett.erase( has[--rear] );

        que[rear]=i;    //只记下标
        LL val=0;
        if(top^rear)    val=dp[ que[rear-1] ]+a[i];
        else            val=dp[low]+a[i]; //top=rear时，a[i]就是最大的
        sett.insert( val );
        has[rear++]=val;
        dp[i]=*sett.begin();    //取最小
    }
    return dp[n];
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int n;LL m;
    scanf("%d%lld", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; i++) //机器
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    printf("%lld\n", cal(n,m));
    return 0;
}