[SDOI2010]古代猪文

题目背景

“在那山的那边海的那边有一群小肥猪。他们活泼又聪明，他们调皮又灵敏。他们*自在生活在那绿色的大草坪，他们善良勇敢相互都关心……”

——选自猪王国民歌

很久很久以前，在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国。猪王国地理位置偏僻，实施的是适应当时社会的自给自足的庄园经济，很少与外界联系，商贸活动就更少了。因此也很少有其他动物知道这样一个王国。

猪王国虽然不大，但是土地肥沃，屋舍俨然。如果一定要拿什么与之相比的话，那就只能是东晋陶渊明笔下的大家想象中的桃花源了。猪王勤政爱民，猪民安 居乐业，邻里和睦相处，国家秩序井然，经济欣欣向荣，社会和谐稳定。和谐的社会带给猪民们对工作火红的热情和对未来的粉色的憧憬。

小猪iPig是猪王国的一个很普通的公民。小猪今年10岁了，在大肥猪学校上小学三年级。和大多数猪一样，他不是很聪明，因此经常遇到很多或者稀奇 古怪或者旁人看来轻而易举的事情令他大伤脑筋。小猪后来参加了全猪信息学奥林匹克竞赛(Pig Olympiad in Informatics, POI)，取得了不错的名次，最终保送进入了猪王国大学(Pig Kingdom University, PKU)深造。

现在的小猪已经能用计算机解决简单的问题了，比如能用P++语言编写程序计算出A + B的值。这个“成就”已经成为了他津津乐道的话题。当然，不明真相的同学们也开始对他刮目相看啦~

小猪的故事就将从此展开，伴随大家两天时间，希望大家能够喜欢小猪。

题目描述

猪王国的文明源远流长，博大精深。

iPig在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为N。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到 如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁 逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。

iPig打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰好为远古时期的k分之一，其中k是N的一个正约数（可以是1和N）。不过具体是哪k分之一，以及k是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。

iPig觉得只要符合文献，每一种能整除N的k都是有可能的。他打算考虑到所有可能的k。显然当k等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为N / k。然而从N个文字中保留下N / k个的情况也是相当多的。iPig预计，如果所有可能的k的所有情况数加起来为P的话，那么他研究古代文字的代价将会是G的P次方。

现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于iPig觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以999911659的余数就可以了。

输入输出格式

输入格式：

输入文件ancient.in有且仅有一行：两个数N、G，用一个空格分开。

输出格式：

输出文件ancient.out有且仅有一行：一个数，表示答案除以999911659的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 2

输出样例#1：

2048

说明

数据规模

10%的数据中，1 <= N <= 50；

20%的数据中，1 <= N <= 1000；

40%的数据中，1 <= N <= 100000；

100%的数据中，1 <= G <= 1000000000，1 <= N <= 1000000000。

题目大意：给定N,G，求

但是的x会很大，以至于无法用存储

这时要用到指数取模算法

对于G^x，我们有

下面给出证明

因为G^μ(p)≡1  (mod p)

我们令x=k*μ(p)+b

那么G^x=(G^μ(p))^{^k}*G^b

因为(G^μ(p))^{^k}≡1  (mod p)

因为b=x%μ(p)=x%(p-1)

所以G^x≡G^x%(p-1)   (mod p)

所以对指数取模，模p-1就行了

组合数取模用Lucas

这时有一个问题：p-1不是素数，不能用lucas和求逆元

所以将p-1分解为4个素数，分别算出同余方程，再用中国剩余定理合并

这里写出p-1的4个素数：

999911658=2*3*4679*35617

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll Mod=;
 ll fac[],A[],cnt,ys[],n,g,pri[],b[],c[],a[];
 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
   if (b==)
     {
       x=;y=;
       return a;
     }
   ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
   ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
   return d;
 }
 ll rev(ll a,ll p)
 {
   ll x,y;
   exgcd(a,p,x,y);
   return (x%p+p)%p;
 }
 ll C(ll x,ll y,ll p)
 {
   if (x>y) return ;
   if (x<p&&y<p) return (fac[y]*A[x]%p)*A[y-x]%p;
   return C(x%p,y%p,p)*C(x/p,y/p,p)%p;
 }
 ll qpow(ll x,ll y,ll p)
 {
   ll res=;
   while (y)
     {
       if (y&) res=res*x%p;
       x=x*x%p;
       y/=;
     }
   return res;
 }
 ll cal(int p)
 {int i;
   fac[]=;
   for (i=;i<p;i++)
     fac[i]=fac[i-]*i%p;
   A[]=;A[]=;
   for (i=;i<p;i++)
     A[i]=(p-p/i)*A[p%i]%p;
   for (i=;i<p;i++)
     A[i]=A[i]*A[i-]%p;
   ll s=;
   for (i=;i<=cnt;i++)
     {
       s+=C(ys[i],n,p);
       s%=p;
     }
   return s;
 }
 int main()
 {int i;
   cin>>n>>g;
   if (g==Mod+)
     {
       cout<<;
       return ;
     }
   for (i=;i*i<=n;i++)
       if (n%i==)
     {
       if (i*i==n)
           ys[++cnt]=i;
       else
         {
           ys[++cnt]=i;
           ys[++cnt]=n/i;
         }
     }
   pri[]=;pri[]=;pri[]=;pri[]=;
   for (i=;i<=;i++)
     b[i]=cal(pri[i]);
   for (i=;i<=;i++)
     c[i]=Mod/pri[i];
   for (i=;i<=;i++)
     a[i]=rev(c[i],pri[i]);
   ll s=;
   for (i=;i<=;i++)
     {
       s+=((c[i]*a[i]%Mod)*b[i])%Mod;
       s%=Mod;
     }
   printf("%lld\n",qpow(g,s,Mod+));
 }