高数Umaru系列(9)——哈士奇
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Problem Description
由于高数巨养的喵星人太傲娇了,要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨,所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇,高数巨看完了所有的哈士奇,记下了每条哈士奇的价格,并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元,她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值,求高数巨最多可获得多少萌值
Input
多组输入。
对于每组输入,第一行有两个整数N,X(1 < = N < = 100,1 < = X < = 1000),分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数
接下来的N行每行有两个整数Pi,Mi(1 < = Pi,Mi < = 100),分别表示第i条哈士奇的价格和萌值
Output
对于每组数据,输出一个整数,表示高数巨最多可以获得的萌值,每组输出占一行
Example Input
2 100
50 20
60 40
3 100
20 55
20 35
90 95
1 10
20 50
Example Output
40
95
0
Hint
Author
Shannon
01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承受能力为j的背包中,可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?
对于这个状态转移方程来说,通俗易懂的暴力解释就是,现在有一个价格为2的物品,你手里有一个承受能力为8的背包,并且已经装满了,那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢?
很简单,这个时候我们就应该找到,当前背包重量减去2时,也就是8-2 = 6时的最大价值,看看加上眼前物品是否比原来大,大就装上,不大就放弃。(可能现在不太理解,后面还会提到)
题目描述:
有编号分别为a,b,c,d,e的五只哈士奇,它们的价格分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承受能力为10的背包,如何让背包里装入的哈士奇具有最大的价值总和?
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算基本理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。
为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承受能力为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。
对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承受能力为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理,c2=0,b2=3,a2=6。
对于承受能力为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?
根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;
在这里,
f[i-1,j]表示我有一个承受能力为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]也就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承受能力为8的背包
这个时候我们再来回头看上面状态转移方程的暴力解释
f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
对于这个状态转移方程来说,通俗易懂的暴力解释就是,现在有一个价格为2的物品,你手里有一个承受能力为8的背包,并且已经装满了,那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢?
很简单,这个时候我们就应该找到,当前背包重量减去2时,也就是8-2 = 6时的最大价值,看看加上眼前物品是否比原来大,大就装上,不大就放弃
AC Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int p, m;
int i, j, n, x;
while(cin>>n>>x)
{
int f[1001][1001] = {0};
for(i = 1; i <= n; i++)
{
cin>>p>>m;
for(j = 0; j <= x; j++)
{
f[i][j] = (i == 1? 0:f[i-1][j]);
if(j >= p)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-p]+m);
}
}
}
cout<<f[n][x]<<endl;
}
return 0;
}