每天一道算法题(四) （动态规划算法）01背包问题Java实现

时间：2022-02-03 18:44:50

动态规划

动态规划在wiki上的定义：

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions - ideally, using a memory-based data structure. The next time the same subproblem occurs, instead of recomputing its solution, one simply looks up the previously computed solution。

昨天接触到了动态规划的概念，研究了昨天一晚上以及今天一上午，总算对这个问题有些收获。
动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。
从空集合开始，每增加一个元素就求它的最优解，直到所有元素加进来，就得到了总的最优解。

01背包问题

01背包问题即的01即每件物品最多放1件，否则不放入。
让我真正了解动态规划概念的是mu399的博客

问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

重新定义问题：

  1. 有承重分别为1-10的背包10个
  2. 编号分别为a,b,c,d,e的物品各一个
name weight value
a 2 6
b 2 3
c 6 5
d 5 4
e 4 6

3. 从e物品开始依次放入1-10个背包，分别得到最大的价值总和
4. 把d物品放入依次放入存在e物品的1-10个背包，如果价值更高，替换掉e（）
5. c,b,a同理。。。

name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6
d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10
c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11
b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11
a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15

思路：
1. 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
2. 以a8（行为a，列为的8的单元格）举例
f[i,j] = a8 = 15
f[i-1,j] = b8 = 9
f[i-1,j-Wi] 表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi] +Pi =b(8 - 2) + 6 = b6 + 6 = 15

背包的java代码实现

public class getPgAnswer{

@Test
public void testPackage() {

        Package[] pg =  {new Package("e",4,6),
new Package("d",5,4),
new Package("c",6,5),
new Package("b",2,3),
new Package("a",2,6)
                         };
// 第一个参数表示从pg[0]开始依次放入的物品，
// 第二个参数代表背包的承重,放弃第0列数组
int[][] state = new int[pg.length][11];
int newValue = 0;

/**
 * 01背包的状态转换方程
 * f[i,j] = Max{
 * f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), 
 * f[i-1,j] }
 */
for (int i = 0; i < pg.length; i++) {
// 背包的承重量
for (int j = 1; j < state[i].length; j++) {
if (i == 0) {
if (pg[i].getWeight() <= j) {
                        state[i][j] = pg[i].getValue();
                    }
                }else{
                    state[i][j] = state[i - 1][j];
if (j < pg[i].getWeight()) {
continue;
                    }
                    newValue = state[i - 1][j - pg[i].getWeight()]
                            + pg[i].getValue();
/* if (newValue >= state[i - 1][j]) {
 state[i][j] = newValue;
 }else{
 state[i][j] = state[i - 1][j];
 }*/
                    state[i][j] = Math.max(newValue, state[i - 1][j]);
                }
            }
        }
for (int i = 0; i < state.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(state[state.length - 1 - i]));
        }
    }
}

class Package {

private String name;

private int weight;

private int value;

public Package(String name,int weight,int value){
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
    }

public String getName() {
return name;
    }

public int getWeight() {
return weight;
    }

public int getValue() {
return value;
    }
}
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