背包问题 动态规划和回溯算法

时间:2021-04-28 18:43:28

背包问题:

   有n个物品   质量分别为w[n]  价值分别为v[n]   有一个最多能装c质量物品的背包,问怎么装载,才能让背包里面装的物品价值最大


实际生活中遇到此类问题,一般的思路是将所有物品按照单位质量价值排序,然后从最大的开始装,其实这样并不一定能得到最优解,

比如质量分别为 5 5 6  价值分别为 7 7 12    容量为10  单位质量价值分别为 7/5 7/5 2

放两个质量为5的物品 得到的价值和是14

放一个质量为6的物品 得到的价值和是12


回溯法:


为了得到n个物体的取舍方法,最坏情况下的时间复杂度应该是2^n ,即对每个物体都有两种方法 要还是不要

回溯法即为这样的方法

逻辑过程是一颗完全二叉树,每层代表着对一个物体的取舍判断

如果第i个物体放进来,没有超重,那么就继续放下一个,否则,就不放第i个 继续判断第i+1个  

直到判断到了第n个  那么方案就确定了  记录此方案的最终价值


动态规划


m为记录数组 m[i][j]代表在剩有j容量的条件下,从i开始往后的物品中可以取得的最大价值

则m[1][c]即此背包能盛下的最大价值


/*
计算完m[n][1,2,3……]后 就可以用递推公式
*/

/*如果已经知道m[i+1][j] (j=1~c)的值了,那么m[i][j]的值要么是m[i+1][j] */

/*即这第i个物品不要了,省下空间给之后的物品*/

/*要么就是m[i+1][j-w[i]]+v[i],即这个物品要了,占用了w[i]空间,增加了v[i]价值*/