根据圆的面积公式计算圆周率

圆周率是一个很神奇的数字，看似毫无规律，但却是确确实实存在并且唯一的，圆周率的计算有很多种方法，现在我们假设已知圆的面积公式 s=πr2 ,看能不能据此来反推得到 π 。

已知条件
- 圆的面积公式： s=πr2 ；
- 正六边形是由6个完全相同的等边三角形组成；

所用工具
- 数学推导
- C语言编程

*注意：不能使用三角函数公式计算

推导过程
如图

设圆的半径r=1，圆内接 6∗2n 边形的边长为 an 。由图可知：

AC2=AB2+BC2=AB2+(r−OB)2=AB2+(1−1−AB2−−−−−−−√)2 ,

因此：

• an+12=(an/2)2+(1−1−(an/2)2−−−−−−−−−√)2=2−4−an2−−−−−−√−−−−−−−−−−−√ ,

至此，我们可以由圆内接正 6∗2n 边形的边长计算得到内接正 6∗2n+1 边形的边长。圆的面积可近似看作其内接正多边形的面积，边数越多，近似的结果越准确。

• s=πr2≈sn+1=6∗2n+1∗（1/2∗1∗an/2)=3an∗2n

因此：

• π=s/r2=s=3an∗2n ，

由于 a1=1 是已知的，便可以联立以上带有项目符号的公式，通过迭代得到 π 的估计值。

C代码实现

#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
    int n=1;
    double a=1.0,s1=0.0,s2,ds;
    do
    {
        a=sqrt(2-sqrt(4-a*a));
        s2=3*a*pow(2,n);
        ds=s2-s1;
        s1=s2;
        n+=1;
    } while(ds>0.00001);//精确至小数点后第5位
    printf("pi=%f",s1);
}