组合数的几种计算方法

组合数一种是OI中比较常用的知识

除了实际的分析之外，我们要考虑的，就是如何快速计算组合数

下面介绍几种常用的计算组合数的方法

朴素公式法

顾名思义，直接套公式

int C(int n,int m){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans=ans*(n-m+i)/i;
	return ans;
}

如果要对质数P取模，就是这样：

int C(int n,int m){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans=(LL)ans*(n-m+i)*inverse(i)%P;
	return ans;
}

其中inverse是i对P的逆元，如果P是质数inverse(i)=i^(P-2)   【费马小定理得】，否则用exgcd求出【欧拉定理也行】

递推式法

C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

边界：C(i,0)=C(i,i)=1

这个递推式用到了动态规划的思想，对于第m个物品，有取和不取两种情况

可以在O(n^2)的时间内算出所有的C(n,m)

void cal(){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<=(i>>1);j++){
			C[i][j]=C[i][i-j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		}
	}
}

Lucas定理

对于n和m比较大(<=10^18)的组合数，就要用到LUCAS定理啦

Lucas定理解决的是n,m比较大而p是小于100000质数

简而言之就是Lucas(n,m)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;

其中组合数C是用任意一种计算10五次方内取模的组合数计算

比如可以预处理阶乘fac[i],然后直接C(n,m)=fac[n]*quickpow(fac[n-m]*fac[m],p-2)%p;

或者O(n)套公式直接算也可以

要注意n可能小于m，因为是取模后的结果，这个时候返回0【不然会RE】

 

LL Lucas(LL n,LL m){  
    if(n<m||!m) return 1;  
    return C(n%P,m%P)*Lucas(n/P,m/P)%P;  
} 

 

配合Lucas定理，由于n和m都在10^5范围内，使用预处理阶乘的方法再好不过了：

预处理阶乘法

其实就是直接套公式，只不过使用了 预处理阶乘+逆元，查询复杂度O(log100000),非常低

void cal(){  
    fac[0]=1;  
    for(int i=1;i<=P;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;  
}  
  
inline LL qpow(LL a,LL b){  
    LL ans=1;  
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P) if(b&1) ans=ans*a%P;
    return ans;  
}  
  
inline LL C(LL n,LL m){  
    if(n<m) return 0;  
    return fac[n]*qpow(fac[n-m]*fac[m]%P,P-2)%P;  
}