1. Introduction
在传统的LSH、SSH、PCA-ITQ等哈希算法中，本质都是利用超平面对数据点进行划分，但是在D维空间中，至少需要D+1个超平面才能形成一个封闭、紧凑的区域。而球哈希方法利用超球面（hypersphere）对数据进行划分，在任何维度下，只需要1个超球面便可形成一个封闭的区域。利用球哈希方法，每个区域内样本的最大距离的平均值会更小，说明各个区域的样本是更紧凑的。这样更符合邻近的含义，更适合在进行相似搜索时使用。
2. Binary Code Embedding Function
球哈希的函数族\(H(x) = (h_1(x), h_2(x), h_3(x), ... h_L(x))\)。L为哈希编码的位数，其中每个哈希函数事实上就是一个超球面，每个超球面将空间划分为球内和球外两部分。哈希函数如下：
其中，\(p_k\)和\(t_k\)分别为球心和半径，\(d(p_k, x)\)表示点x与球心\(p_k\)之间的欧式距离。如果点到球心的距离大于半径，则编码为-1，否则编码为1。
为了比较基于超平面的区域和基于超球面的区域，不同紧凑性对结果的影响，论文作了如下两个实验：
左图中的Y轴表示在相同的编码下的哈希空间里，数据点中最大距离的平均值，X轴为不同的码长。实验结果曲线表明了基于超球面形成的区域更加紧凑，利用较少的码长便可对原始数据进行很好的编码；右图的Y轴为在相同的编码下，所对应的原始空间中数据点的最大距离，X轴为两个数据点的编码中，相同比特位均为+1的个数。实验结果除了超球面区域紧凑性的验证之外，还表明了如果两个数据点具有越多的相同特征，那么这两个数据点距离越近（越相似）。
对于右图的实验结果，个人直观的理解便是假设有类别A具有a、b、c三个特征，如果数据\(x_1\)和\(x_2\)均具有这三个特征（对应比特位均为+1），那么我们大致可以判定\(x_1\)和\(x_2\)均属于类别A；但是如果\(x_1\)和\(x_2\)均不具有这三个特征（对应比特位均为-1），那么我们只能确定\(x_1\)和\(x_2\)均不属于类别A，但是无法得出\(x_1\)和\(x_2\)是否属于同类的结论。
3. Distance between Binary Codes
传统的哈希方法使用汉明距离作为衡量数据点中距离的方法，但是汉明距离无法对区域紧凑性进行很好的表征。因此，在球哈希方法中，使用了新的距离度量方法Shpherical Hamming distance，SHD：
其中，分子为两个编码中对应比特位不同的个数，分母则为对应比特位均为+1的个数。显然，当两个数据对应比特位均为+1的个数越多时，其对应的SHD距离越小，反之则越大，很好得体现了利用了基于超球面的区域紧凑型的特点。
4. Independence between Hashing Functions
球哈希方法中同样也对哈希函数的平衡性和独立性进行了限制。
平衡性：
独立性：
具体的图示如下：
5. Iterative Optimization
在初始化时，从原始数据集中生成一个m大小的子集S，在子集S中随机选择C个数据点作为初始球心，初始球心的选择应该能大致反应数据集在空间中的分布情况，以减少后边的优化开销。在球心选择后，根据平衡性和独立性的限制便可得到半径。之后，球哈希函数训练可分为两个阶段。
第一阶段：根据平衡性的限制，调整球心，使得\(O_{i,j}\)的值尽可能接近\(4/m\)。在此过程中，定义了两个球心的作用力如下所示：
为了满足平衡性的条件，当两个球的重合过多时，应产生排斥力将其分开；当两个球距离过远时，应产生吸引力使得互相靠近。而上述公式的原理便是通过利用\((O_{i,j} - m/4)\)和\((p_i - p_j)\)的符号正负关系实现排斥力和吸引力。而分母中的\(4/m\)是为了保证力的大小不受数据集大小m的影响。
第二阶段：当球心通过作用力更新位置完毕后，我们通过独立性的限制来调整半径\(t_k\)的大小。
在第一阶段中，理想情况是\(O_{i,j}\)的均值和标准差分别为\(m/4\)和0，但是这样容易产生过拟合，因此我们对均值和标准差设定了两个阈值——10%和15%，在这两个阈值下，算法具有最优的表现。
综述，整个球哈希算法的过程如下所示：
