MATLAB常微分方程的数值解法
作者：凯鲁嘎吉 - 博客园
http://www.cnblogs.com/kailugaji/
一、实验目的
科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题，所谓数值解法就是求未知函数在一系列离散点处的近似值。
二、实验原理
三、实验程序
1. 尤拉公式程序
四、实验内容
选一可求解的常微分方程的定解问题，分别用以上1, 4两种方法求出未知函数在
节点处的近似值，并对所求结果与分析解的（数值或图形）结果进行比较。
五、解答
1. 程序
求解初值问题
取n=10
源程序：
euler23.m:
function [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(a,b,n,y0)
%欧拉法解一阶常微分方程
%初始条件y0
h = (b-a)/n; %步长h
%区域的左边界a
%区域的右边界b
x = a:h:b;
m=length(x); %前向欧拉法
y = y0;
for i=2:m
y(i)=y(i-1)+h*oula(x(i-1),y(i-1));
A1(i)=x(i);
A2(i)=y(i);
end
plot(x,y,'r-');
hold on; %改进欧拉法
y = y0;
for i=2:m
y(i)=y(i-1)+h/2*( oula(x(i-1),y(i-1))+oula(x(i),y(i-1))+h*(oula(x(i-1),x(i-1))));
B1(i)=x(i);
B2(i)=y(i);
end
plot(x,y,'m-');
hold on; %欧拉两步公式
y=y0;
y(2)=y(1)+h*oula(x(1),y(1));
for i=2:m-1
y(i+1)=y(i-1)+2*h*oula(x(i),y(i));
C1(i)=x(i);
C2(i)=y(i);
end
plot(x,y,'b-');
hold on; %精确解用作图
xx = x;
f = dsolve('Dy=-3*y+8*x-7','y(0)=1','x');%求出解析解
y = subs(f,xx); %将xx代入解析解，得到解析解对应的数值 plot(xx,y,'k--');
legend('前向欧拉法','改进欧拉法','欧拉两步法','解析解'); oula.m:
function f=oula(x,y)
f=-3*y+8*x-7;
2. 运算结果
A1,A2为前向欧拉法在节点处的近似值，B1,B2为改进的欧拉法在节点处的近似值，C1,C2为欧拉公式法在节点处的近似值。
>> [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(0,1,10,1)
A1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
A2 =
0 0 -0.6200 -0.9740 -1.1418 -1.1793 -1.1255 -1.0078 -0.8455 -0.6518 -0.4363
B1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
B2 =
0 0.0050 -0.6090 -0.9563 -1.1169 -1.1468 -1.0853 -0.9597 -0.7893 -0.5875 -0.3638
C1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
C2 =
0 0 -0.2400 -0.9360 -0.5984 -1.3370 -0.3962 -1.5392 0.2473 -1.8076
>> [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(0,1,10,1)
A1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
A2 =
0 0 -0.6200 -0.9740 -1.1418 -1.1793 -1.1255 -1.0078 -0.8455 -0.6518 -0.4363
B1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
B2 =
0 0.0050 -0.6090 -0.9563 -1.1169 -1.1468 -1.0853 -0.9597 -0.7893 -0.5875 -0.3638
C1 =
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
C2 =
0 0 -0.2400 -0.9360 -0.5984 -1.3370 -0.3962 -1.5392 0.2473 -1.8076
3. 拓展（方法改进、体会等）
从以上图形可以看出，在n=10时，改进的欧拉法精度更高，而欧拉两步法所求结果震荡不收敛，越接近1，震荡幅度越大，于是取n=100,时，结果如下所示：
当n=1000时，结果如下图：
当n=100时，三种方法与解析解非常接近，当n=1000时，几乎四者位于一条线中，从实验结果看出，n越大时，结果越精确。