上一节讲了 常微分方程的三种离散化 方法:差商近似导数、数值积分、Taylor 多项式近似。
目录
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式 2.2 Euler 方法的误差估计
§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出 
的近似值 
。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的 
都是近似的， 所以用它计算的 
会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求 的一个初步近似值 
，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值 ，即
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
改进 Euler 法是二阶方法。
常微分方程的解法求解系列博文：
常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似
常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法 、线性多步法