Blog Links

一、前沿

后处理一般是由 ANSYS 后处理器或其他后处理程序实现的，后处理器读入二进制文件 (.rst文件)，可以用各种各样方式显示结果，如彩色等值线图、动画、应力云图、位移云图等。

.rst文件为二进制文件，是结构与耦合分析结果数据的存储文件。

ANSYS 提供了两个后处理器：通用后处理器 (POST1) 和时间历程后处理器 (POST26)。

通用后处理器 (POST1)：用来观察整个模型在某一时刻的结果。

时间历程后处理器 (POST26)：用来观察整个模型在不同时间段或荷载步上的结果，常用于处理瞬态分析和动力分析结果。

rst 文件内有许多数据组 (data set)，每一数据组代表一个时间点的反应输出值，/POST1 模块是用来处理某一数据组的。/POST1 是针对某一时间点，反应值在空间上的分布；/POST26 模块是针对某一空间点，反应值在时间上的变化。

二、结点解与单元解

一切物理现象都可以用微分方程表示。求解微分方程的能力远低于列出微分方程的能力。近似分析方法提供了求解微分方程的另一种手段，如有限单元法、有限差分法和变分法等。

有限单元法的基本思想：把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个结点，从而将连续体看作仅在结点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的结点值作为基本位置量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解结点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限*度问题转化为离散域中的有限*度问题，求解得到结点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上乃至整个集合体上的场函数。

高斯积分法

ANSYS 有限元分析后处理

20结点六面体等参元

20结点六面体等参元的单元刚度矩阵为：

$\boldsymbol {k_e} = \int_V\boldsymbol {B}^T \, \boldsymbol {D} \, \boldsymbol {B} \, {\rm d}V$

$\boldsymbol {k_e} = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \boldsymbol {B}^T \, \boldsymbol {D} \, \boldsymbol {B} \, |\boldsymbol {J}| \, {\rm d}\xi \, {\rm d}\eta \, {\rm d}\zeta$

上式中的被积函数相当复杂，一般难以积出显示形式。因此，在有限元法的计算中，通常采用数值积分。

在单元内选出某些点 (称为积分点)，计算出被积函数在这些积分点处的函数值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求出总和，作为近似值。

高斯积分法就是数值积分法中具有较高精度的方法，一维的高斯求积公式如下：

$\int_{-1}^1 f(\xi) \, {\rm d}\xi = \sum_{i=1}^n \, H_i \, f(\xi_i)$

式中， $H_i$ 为加权系数， $n$ 为积分点个数。

积分点个数 $n$ 的选取与被积函数 $f(\xi)$ 有关，当被积函数为 $m$ 次多项式时，则取 $n \ge (m+1)/2$ ；当被积函数不是多项式时，则需要通过一些试算来判断选取适当的 $n$ 值，需要指出的是，不要取的过大，因为计算量将会随着积分点的增加而急剧增加。

有限元在求解结构问题时，大型方程组中的基本未知量为结点位移，因此，我们求解大型方程组后，最先得到的计算成果是各个结点处的位移值即全部的结点位移，亦即任意一单元的结点位移也得到确定，结合事先给定的形函数，便得到该单元的位移场，即根据单元结点位置数值和形函数便可确定单元内任意一点处的位移值。

应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用系统总位能的变分得到的求解方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个结点的平衡条件，以及各个单元和整个结构的总平衡条件，但是从求解方程解得的则是各个结点的位移值。而实际工程问题需要的往往是应力分布，特别是最大应力的位置和数值，为此需要利用以下公式由已解得的结点位移算出单元内的应力。

应用插值公式，可由单元结点位移 $\boldsymbol {\delta_e}$ ，求得单元位移函数 $\boldsymbol {d}$ ，这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。单元位移场如下式所示：

$\boldsymbol {d}=\boldsymbol {N} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中， $\boldsymbol {N}$ 为形函数矩阵， $\boldsymbol {\delta_e}$ 为单元各结点位移列阵。

根据弹性力学几何方程，单元的应变场由下式得到：

$\boldsymbol\varepsilon = \boldsymbol A^T \boldsymbol d = \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

式中， $\boldsymbol A^T$ 为微分算子，即求导规则矩阵； $\boldsymbol {B}$ 为应变矩阵， $\boldsymbol {B}= \boldsymbol {A}^T \cdot \boldsymbol {N}$ 。

根据弹性力学物理方程，单元应力场由下式得到：

$\boldsymbol {\sigma} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {\varepsilon} = \boldsymbol {D} \cdot \boldsymbol {B} \cdot \boldsymbol {\delta_e}$

其中， $\boldsymbol D$ 称为弹性矩阵，它完全取决于弹性材料的弹性模量 $E$ 和泊松比 $\mu$ 。

由以上各式可以得到，单元应变场由单元位移场经求导运算 (可能是求一阶偏导也可能是求二阶偏导) 得到，单元应力场由单元应变场经代数运算 (非求导运算、只有加减乘除等) 得到。通常，位移场在结构的全局上是连续函数，这一点在假设形函数时天然得到满足。应变场、应力场在单元内部是保持连续的，而在单元间不一定连续 (一般不连续)，即在单元边界上发生突变，那么，同一个结点，由围绕它的不同单元计算得到的应变值和应力值通常是不同的。这与现实情况有出入，实际上，结构在外载作用下，位移场函数、应变场函数、应力场函数均为连续。因此，为了解决这一问题，需要对单元的应变结果及应力结果做数学上的处理，以提高应变/应力精度，使之更符合实际情况。

函数连续它的导函数不一定连续。

应变矩阵 $\boldsymbol {B}$ 是插值函数 (形函数矩阵) $\boldsymbol {N}$ 对位置坐标进行求导之后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以，通过导数运算得到的应变 $\boldsymbol\varepsilon$ 与应力 $\boldsymbol {\sigma}$ 精度较位移 $\boldsymbol {d}$ 降低了，即利用以上两式得到的应变 $\boldsymbol\varepsilon$ 与应力 $\boldsymbol {\sigma}$ 有较大误差。这种应力解答的近似性表现在：

(1). 单元内部一般不满足平衡方程；

(2). 单元间应力一般不连续；

(3). 在力的边界上一般也不满足力的边界条件。

ANSYS 有限元分析后处理

由有限位移元计算出的位移精度是最高的，位移求导得应变(几何方程)，由物理方程可得到应力。

在有限单元法中，位移的精度较高，其误差量级是，即与单元尺寸的二次幂成正比，应力误差的量级是，即与单元的大小成正比。因此，对于结点位移的成果，可直接采用。

应力结果需要做数学上的处理，为了提高应力精度，解决应力波动性问题，可采用两种应力成果的整理方法：两相邻单元平均法和绕结点平均法。值得指出：两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。在受面力边界线附近，求得的应力误差较大，可采用向外插值的方法 (例三结点抛物线插值) 来解决。

用最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能，因此，得到的位移解总体上偏小，这是求得的位移解的性质。

无限*度系统被离散为有限*度系统后，有限*度系统显得比原来更刚，因此，变形要小。

实际结构本来是具有无限个*度，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合，便只有有限个*度了，限制了结构变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减少，所以有限元求得的位移近似解小于精确解。

那么，求得应变解、应力解具有怎样的性质呢？

经数学上的证明，可得到如下结论：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好等于精确解，也即单元内存在最佳应力点。应力解的这一特点将有助于我们处理应力计算的结果，改善应力解的精度。

假设位移近似解为 p 次多项式，微分算子的阶数为 m ，则应变近似解和应力近似解为 n = p-m 次多项式，为了使相关积分式能精确成立，至少需要采用 n+1 阶的高斯积分，当取 n+1 阶高斯积分时，积分精度可达 2(n+1)-1 = 2n+1 次多项式，也就是该被积函数是 2n+1 次多项式的情况仍可达到精确积分。

经证明，可得到如下实用的推论：在等参元中，单元中 (n+1) 阶 (n=p-m) 高斯积分点上的应变或应力近似解比其他位置处具有更高的精度，因此，称 (n+1) 阶高斯积分点是等参元中的最佳应力点。其中，位移近似解为 p 次多项式，m 为微分算子阶数。

ANSYS 有限元分析后处理

几种常用二维 C0 型单元 (m=1) 的最佳应力点位置 (△)

由以上讨论可知，由位移元得到的位移解在全部求解域上是连续的，应变和应力解在单元内部是连续的而在单元间一般是不连续的，即在单元边界上发生突跳。因此，同一个结点，由围绕它的不同单元计算得到的应变值和应力值通常是不同的。另一方面，在边界上应力解一般地也是与力的边界条件不完全符合。等参元虽然在 n+1 阶高斯积分点上的应力具有较高的精度，但在结点上计算得到的应力精度较差。通常，实际工程问题中我们感兴趣的是单元边缘和结点上的应力，因此，需要对计算得到的应力进行处理，以改善所得到的结果。常用的应力处理方法有：单元平均/结点平均、总体应力磨平、单元应力磨平、分片应力磨平等。

单元结点位移确定后，结合形函数，可得到单元位移场，进而得到单元应变场 (几何方程) 和单元应力场 (物理方程)，从而，高斯积分点处的应变值和应力值得到确定。利用单元的形函数及高斯点上的应变值/应力值，将这些值外推到该单元的结点上，即可得到单元结点上的应变值和应力值。显然，不同的单元会共用一些结点，而从不同单元内的积分点外推到这些公共结点上的应变值和应力值一般不同，将一个公共点的多个应力进行平均，以代表该结点处的应力值。

ANSYS 有限元分析后处理

综上，单元结点应力由单元高斯点处的应力外推得到，当多个单元共用一个结点时，不同单元推得的结点应力并不完全一致，此时，应力在该结点处发生突变，不在保持连续，这与事实不符。为了保持应力场的连续性，需要对不同单元推得的该结点处的应力值进行数学上的处理，最简单粗暴的处理方式是进行算数平均，以平均值作为该结点处最终的应力数值，这样使得应力场在各单元的公共点上保持连续。

~~ ANSYS中的单元解即为结点应力未做平均前的应力解答，结点解即为进行结点应力平均处理后的应力解答。
原始解：结点位移
单元解：单元的应变应力
结点解：应力修匀
从上面也可以看出，从精度来说，结点位移解高于单元应变解，单元应变解高于单元应力解，单元解之间是不连续的，而结点解是连续的，通常都是查看结点解来进行相关分析的。

在 Ansys 中求解出的应力默认是高斯点 (积分点) 上的应力经过软件内外插值后得到的结果。~~

对于等参元分析来说，可采用应力修匀法进行处理，应力不连续问题。

最简单处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕结点各单元应力的平均值。

取相邻单元应力的平均值，这种方法最常用于3结点三角形单元

应力近似解总是在精确解上下振荡。位移近似解总是小于精确解。

Element Solution

Stresses and strains are two primary element solution quantities in structural elements used for stress analysis. Stresses and strains are directly evaluated at element integrations points, and may be extrapolated to element nodes or averaged at element centroid for output. Generalized stresses and strains, such as linearized stresses, forces, moments, and curvature changes, are available in beam, pipe, elbow, and shell elements.

Integration Point Solution

Centroidal Solution

Output (such as stress, strain, and temperature) in the output listing is given at the centroid (or near center) of certain elements. The location of the centroid is updated if large deflections are used.

The output quantities are calculated as the average of the integration point values.

Nodal Solution

The nodal solution from an analysis consists of:

the degree-of-freedom solution, such as nodal displacements, temperatures, and pressures

the reaction solution calculated at constrained nodes - forces at displacement constraints, heat flows at temperature degree-of-freedom constraints, fluid flows at pressure degree-of-freedom constraints, and so on.

三、Contour Displays 云图显示

General Postprocessor (POST1) ： /POST1模块是用来处理某一数据组的，是针对某一时间点，反应值在空间上的分布。

Nodal Solution / Element Solution

ANSYS 有限元分析后处理

3.1 显示连续云图 PLNSOL

Contour displays show how a result item (such as stress, temperature, magnetic flux density, etc.) varies over the model. Four commands are available for contour displays:

PLNSOL – Displays solution results as continuous contours
PLESOL – Displays solution results as discontinuous element contours
PLETAB – Displays element table items
PLLS – Displays element table items as contoured areas along elements

The PLNSOL command produces contour lines that are continuous across the entire model. Use either for primary as well as derived solution data. Derived solution data, which are typically discontinuous from element to element, are averaged at the nodes so that continuous contour lines can be displayed.

ANSYS 有限元分析后处理

PLESOL 命令绘制的云图的等应力线 (contour lines) 呈锯齿状，PLNSOL 命令绘制的云图的等应力线平滑连续。

有限元素分析的解有一个行为，就是其DOF的数值解（亦即displacement fields）在空间上虽然是连续的（continuous），但是并不一定是平滑的（smooth）；事实上是：在元素的内部，这些displacement fields是连续且平滑的（因为是由形状函数所描述），但是跨过元素的边界时，则通常是连续但不平滑的（形状函数并不跨越元素边界）；所以整体空间而言，displacement fields是连续但不平滑的，在数学上我们称之为「片段平滑」函数（piece-wise smooth functions）。这种片段平滑函数经微分（应力场基本上是变位场的微分）之后，就变成「片段连续」的函数：亦即在元素的内部是连续的，但是跨过元素的边界时是不连续的，就如Figure 7-3上图的应力场所显示的，等应力线的不连续点发生在元素的边界上。

理论上，只要元素足够细小，这种应力（或应变）的不连续性也会跟着足够小。事实上，这种不连续性可以作为解答精度的量测基准 [Ref. 7, Sec. 19.7. POST1 - Error Approximation Technique ]。实务上，将元素切割的很细来达到应力线连续的目的是没有必要的，ANSYS可以将不连续的应力值做一个简单的处理，使之变成连续甚至平滑的，而不失其合理性，这就是PLNSOL命令的功能。所谓「简单的处理」，简单的说就是取其平均值（averaging）：同一个节点，若有几个不同的应力值，则把这些值取平均，做为唯一的应力值。

PLNSOL (plot nodal solutions)

PLESOL (plot element solutions)