1. 两类Logistic回归
Logistic回归是一种非常高效的分类器。它不仅可以预测样本的类别，还可以计算出分类的概率信息。
不妨设有$n$个训练样本$\{x_1, ..., x_n\}$，$x_i$是$d$维向量，其类别标签是$\{y_1, ..., y_n\}$。对于一个$c$类问题，$y_i \in \{1, 2, ..., c\}$。Logistic回归学习这样一个函数
\begin{equation}
f(x) = g(\theta^T x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^T x}}
\end{equation}
其中，
\begin{equation}
g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}
\end{equation}
被称为Logistic函数或者Sigmoid函数。
设$x=[x^{(1)}, ..., x^{(d)}]^T$。实际上，$\theta^T x$这儿应该写成$\theta_0 + \theta^T x$（$\theta$是$d$维向量），要有个常数项。但是为了方便，我们设$x^{(0)}=1$，所以$\theta_0 + \theta^T x$可以直接写作$\theta^T x$，而此处的$\theta$是$d+1$维向量，即$\theta^T x = \sum_{j=0}^d \theta_j x^{(j)}$。
可以看出来，当$z$无穷大时，$g(z)$趋于1；当$z$无穷小时，$g(z)$趋于0；当$z=0$时，$g(z)=0.5$。 $g(z)$的值域是$[0, 1]$，所以$f(x)$的值域也是$[0, 1]$。
首先我们考虑$2$类问题，设
\begin{equation}
P(y=1|x,\theta) = f(x)
\end{equation}
即对于给定的样本$x$，其属于类别$1$的概率是$f(x)$。则属于类别$0$的概率是
\begin{equation}
P(y=0 | x,\theta) = 1-f(x)
\end{equation}
上述概率也可以写作
\begin{equation}
P(y | x,\theta) = f(x)^y (1-f(x))^{1-y}
\end{equation}
Logistic回归具有如下的特点。一个事件发生的机率（odds）定义为事件发生的概率与不发生的概率的比值。设$p=P(y=1|x,\theta)$，那么事件的机率是$\frac{p}{1-p}$。其对数函数是
\begin{equation}
log \frac{p}{1-p} = log \frac{P(y=1|x,\theta)}{1-P(y=1|x,\theta)} = \theta x
\end{equation}
可以看出，输出类别$1$的对数机率是输入$x$的线性函数。
此外，后验概率也可以写作如下形式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& P(y=1 | x,\theta) = \frac{e^{\theta^T x}}{1+e^{\theta^T x}} \\
& P(y=0 | x,\theta) = \frac{1}{1+e^{\theta^T x}}
\end{aligned}
\end{equation}
(这与下文将到的多类形式一致)
学习or训练的过程就是通过训练数据，来求解出最优的参数$\theta$。而预测的方法是计算后验概率$P(y | x,\theta)$，如果大于$0.5$，则预测为类别$1$；否则为类别$0$。
以下使用极大似然估计方法来求解参数。参数$\theta$的似然函数是：
\begin{equation}
\begin{aligned}
L(\theta) & = \prod_{i=1}^{n} P(y_i | x_i, \theta) \\
& = \prod_{i=1}^{n} f(x_i)^{y_i} (1-f(x_i))^{1-y_i}
\end{aligned}
\end{equation}
最大化似然函数往往比较困难，可以通过最大化对数似然函数来求解。$\theta$的对数似然函数是：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ell(\theta) & = \log L(\theta) \\
& = \log \prod_{i=1}^{n} f(x_i)^{y_i} (1-f(x_i))^{1-y_i} \\
& = \sum_{i=1}^{n} \log f(x_i)^{y_i} (1-f(x_i))^{1-y_i} \\
& = \sum_{i=1}^{n} y_i \log f(x_i) + (1-y_i) \log (1-f(x_i))
\end{aligned}
\end{equation}
实际上，代价函数的形式是：
\begin{equation}
J(\theta) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \log f(x_i) + (1-y_i) \log (1-f(x_i))
\end{equation}
所以最小化代价函数就等价于最大化似然估计。
可以通过梯度下降法来求解$l(\theta)$的极大值。即
\begin{equation}
\theta := \theta + \alpha \nabla_{\theta} \ell(\theta)
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial \theta_j} \ell(\theta) & = \frac{\partial}{\partial \theta_j} \sum_{i=1}^{n} y_i \log g(\theta^Tx_i) + (1-y_i) \log (1-g(\theta^Tx_i)) \\
& = \sum_{i=1}^n (y_i \frac{1}{g(\theta^T x_i)} - (1-y_i) \frac{1}{1-g(\theta^T x_i)}) \frac{\partial}{\partial \theta_j} g(\theta^T x_i) \\
& = \sum_{i=1}^n (y_i \frac{1}{g(\theta^T x_i)} - (1-y_i) \frac{1}{1-g(\theta^T x_i)}) g(\theta^T x_i) (1- g(\theta^T x_i))\frac{\partial}{\partial \theta_j} \theta^Tx_i \\
& = \sum_{i=1}^n (y_i (1- g(\theta^T x_i)) - (1-y_i)g(\theta^T x_i)) x_i^{(j)} \\
& = \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i)) x_i^{(j)}
\end{aligned}
\end{equation}
$x_i^{(j)}$是第$i$个样本的第$j$个特征。
所以，对于参数$\theta$向量中的任一元素$\theta_j$，迭代方式如下:
\begin{equation}
\theta_j := \theta_j + \alpha \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i)) x_i^{(j)}
\end{equation}
如此，便可将全部参数求解出来。
此外，Logistic回归的求解也可以采用Newton迭代法等。
2. 正则化
在机器学习中，正则化是非常常用的方法。它用来约束模型的参数，使得求解出来的参数不会太大（模型不能过于复杂），以防止过拟合。
Logistic回归经常加入$\ell_1$正则或者$\ell_2$正则。参数求解的问题转变为：
\begin{equation}
\underset{\theta}{\arg \max} \;\; \ell(\theta) - \alpha \|\theta\|^2
\end{equation}
3. 多类情况
%可以换一种角度来理解Logistic回归。一个事件发生与不发生的比值被称为机率（odds）。假设发生的概率是$p$，那么发生的几率是$p/(1-p)$。几率越大，发生的可能性越大。
面向多类分类问题的Logistic回归，也叫softmax regression。假设是一个$c$类问题，则类别标签$y_i \in \{1, ..., c\}$。 使用one-vs-all策略可以将两类分类器扩展为多类分类器，即将选取任意一类，再将其它所有类看成是一类，构建一个两类分类器，这样一共需要$c$个分类器。
定义
\begin{equation}
\begin{aligned}
P(y=1 | x) &= \frac{e^{\theta_1^T x}}{\sum_{k=1}^{c}e^{\theta_k^T x}} \\
P(y=2 | x) &= \frac{e^{\theta_2^T x}}{\sum_{k=1}^{c}e^{\theta_k^T x}} \\
&... \\
P(y=c | x) &= \frac{e^{\theta_c^T x}}{\sum_{k=1}^{c}e^{\theta_k^T x}}
\end{aligned}
\end{equation}
该模型有这样一个性质，对于所有参数$\theta_i$，加上一个向量$v$，后验概率的值不变。即
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{e^{(\theta_1+v)^T x}}{\sum_{k=1}^{c}e^{(\theta_k+v)^T x}} & = \frac{e^{\theta_1^T x + v^T x}}{\sum_{k=1}^{c}e^{\theta_k^T x + v^T x}} \\
& = \frac{e^{\theta_1^T x} e^{v^T x}}{\sum_{k=1}^{c} e^{\theta_k^T x} e^{v^T x}} \\
& = \frac{e^{\theta_1^T x}}{\sum_{k=1}^{c} e^{\theta_k^T x}}
\end{aligned}
\end{equation}
我们设$v=\theta_c$, 则新的参数为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \theta_1 = \theta_1 - \theta_c \\
& ... \\
& \theta_{c-1} = \theta_{c-1} - \theta_c \\
& \theta_c = 0
\end{aligned}
\end{equation}
则多类Logistic回归模型可写作
\begin{equation}
\begin{aligned}
P(y=1 | x) &= \frac{e^{\theta_1^T x}}{1 + \sum_{k=1}^{c-1}e^{\theta_k^T x}} \\
&... \\
P(y=c-1 | x) &= \frac{e^{\theta_{c-1}^T x}}{1 + \sum_{k=1}^{c-1}e^{\theta_k^T x}} \\
P(y=c | x) &= \frac{1}{1 + \sum_{k=1}^{c-1}e^{\theta_k^T x}}
\end{aligned}
\end{equation}
加入正则项后的代价函数可以表述为
\begin{equation}
J(\theta) = -\frac{1}{m} \left(\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^c 1\{y_i=k\} log\frac{\theta_k x_i}{\sum_{l=1}^c \theta_l^T x_i} \right)
\end{equation}
其中，$1\{y_i=k\}$是指示函数，若$y_i=k$为真，则等于$1$，否则等于$0$。
对于参数的求解，与两类问题的求解方法一样。