Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

时间:2024-07-06 20:06:02

Softmax回归

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转自:http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

简介

在本节中,我们介绍Softmax回归模型,该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的,该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的,不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。(译者注: MNIST 是一个手写数字识别库,由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/

回想一下在 logistic 回归中,我们的训练集由 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个已标记的样本构成:Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 ,其中输入特征Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。(我们对符号的约定如下:特征向量 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的维度为 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,其中 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 对应截距项 。) 由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。假设函数(hypothesis function) 如下:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

我们将训练模型参数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,使其能够最小化代价函数 :

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 可以取 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,我们有 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个不同的类别。

对于给定的测试输入 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。也就是说,我们想估计 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 维的向量(向量元素的和为1)来表示这 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 形式如下:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

其中 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 是模型的参数。请注意 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见,我们同样使用符号 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 用一个 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 按行罗列起来得到的,如下所示:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中,Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 是示性函数,其取值规则为:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

 值为真的表达式 

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Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 值为假的表达式 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。举例来说,表达式 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的值为1 ,Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广的值为 0。我们的代价函数为:

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值得注意的是,上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

可以看到,Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记的 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 分类为类别 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的概率为:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广.

对于 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的最小化问题,目前还没有闭式解法。因此,我们使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。经过求导,我们得到梯度公式如下:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

让我们来回顾一下符号 "Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广" 的含义。Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 本身是一个向量,它的第 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个元素 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的第 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广。 例如,在梯度下降法的标准实现中,每一次迭代需要进行如下更新: Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广(Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广)。

当实现 softmax 回归算法时, 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 中减去了向量 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,这时,每一个 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 都变成了 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广(Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广)。此时假设函数变成了以下的式子:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

换句话说,从 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 中减去 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

进一步而言,如果参数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 是代价函数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的极小值点,那么 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 同样也是它的极小值点,其中 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 可以为任意向量。因此使 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)

注意,当 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 时,我们总是可以将 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广替换为Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 (或者其他 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个参数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 (其中 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广),我们可以令 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,只优化剩余的 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 个参数,这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

有了这个权重衰减项以后 (Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广),代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广是凸函数,梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 的导数,如下:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

通过最小化 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 时,softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说,当 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广 时,softmax 回归的假设函数为:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

利用softmax回归参数冗余的特点,我们令 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,并且从两个参数向量中都减去向量 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,得到:

Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广

因此,用 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广来表示Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,另一个类别概率的为 Softmax回归——logistic回归模型在多分类问题上的推广,这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?

这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)

如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声
。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i)
假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii)
现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?

在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。