向量矩阵运算
向量
数量积
定义:
a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos<a⃗ ,b⃗ >
基本定理:
a⃗ ⋅b⃗ a⃗ ⋅(b⃗ +c⃗ )λa⃗ ⋅b⃗ a⃗ ⋅b⃗ ⋅c⃗ =b⃗ ⋅a⃗ =a⃗ ⋅b⃗ +a⃗ ⋅c⃗ =a⃗ ⋅λb⃗ ≠a⃗ ⋅(b⃗ ⋅c⃗ )(交换律)(分配律)(数乘)(结合律一般不成立)
向量积
定义:右手系,伸开右手, 使大拇指与四指垂直并保持在一个平面内, 四指指向
a⃗
的方向. 然后旋转四指到
b⃗
的方向,拇指指向的方向为向量积方向。
|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ ||b⃗ |sin<a⃗ ,b⃗ >
基本定理:
a⃗ ×b⃗ a⃗ ×(b⃗ +c⃗ )λa⃗ ×b⃗ a⃗ ×b⃗ ×c⃗ =−b⃗ ×a⃗ =a⃗ ×b⃗ +a⃗ ×c⃗ =a⃗ ×λb⃗ ≠a⃗ ×(b⃗ ×c⃗ )(交换律)(分配律)(数乘)(结合律一般不成立)
混合积
定义: 混合积值的绝对值是三个向量代表的六面体体积大小
(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )=a⃗ ×b⃗ ⋅c⃗
基本定理:
(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )a⃗ ×b⃗ ×c⃗ (a⃗ ×b⃗ )⋅(c⃗ ×d⃗ )(a⃗ ×b⃗ )2=(b⃗ ,c⃗ ,a⃗ )=(c⃗ ,a⃗ ,b⃗ )=(a⃗ ⋅c⃗ )b⃗ −(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗ =(a⃗ ⋅c⃗ )(b⃗ ⋅d⃗ )−(a⃗ ⋅d⃗ )(b⃗ ⋅c⃗ )=a⃗ 2b⃗ 2−(a⃗ ⋅b⃗ )2
矩阵
基本定理:
ABA(B+C)(AB)C≠BA=AB+AC=A(BC)(交换律一般不成立)(分配律)(结合律)
行列式 (其中
Ai,j
是代数余子式):
det(A)=∑i,jnai,jAi,jdet(AB)=det(A)det(B)
矩阵的逆:
A−1=1det(A)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢A11A21⋮An1A12A22⋮An2⋯⋯⋱⋯A1nA2n⋮Ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
(AB)−1=B−1A−1
该系列学习笔记主要参考 郑州师范大学 柳朝阳的《计算机图形学的概念与方法》,如需要查阅更详细的公式推导,可参考原著。