图形学学习笔记5——向量矩阵运算

时间:2021-10-28 16:32:50

向量矩阵运算

向量

数量积

定义:
a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos<a⃗ ,b⃗ >
基本定理:
a⃗ b⃗ a⃗ (b⃗ +c⃗ )λa⃗ b⃗ a⃗ b⃗ c⃗ =b⃗ a⃗ =a⃗ b⃗ +a⃗ c⃗ =a⃗ λb⃗ a⃗ (b⃗ c⃗ )()()()()

向量积

定义:右手系,伸开右手, 使大拇指与四指垂直并保持在一个平面内, 四指指向 a⃗  的方向. 然后旋转四指到 b⃗  的方向,拇指指向的方向为向量积方向。
|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ ||b⃗ |sin<a⃗ ,b⃗ >
基本定理:
a⃗ ×b⃗ a⃗ ×(b⃗ +c⃗ )λa⃗ ×b⃗ a⃗ ×b⃗ ×c⃗ =b⃗ ×a⃗ =a⃗ ×b⃗ +a⃗ ×c⃗ =a⃗ ×λb⃗ a⃗ ×(b⃗ ×c⃗ )()()()()

混合积

定义: 混合积值的绝对值是三个向量代表的六面体体积大小
(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )=a⃗ ×b⃗ c⃗ 
基本定理:
(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )a⃗ ×b⃗ ×c⃗ (a⃗ ×b⃗ )(c⃗ ×d⃗ )(a⃗ ×b⃗ )2=(b⃗ ,c⃗ ,a⃗ )=(c⃗ ,a⃗ ,b⃗ )=(a⃗ c⃗ )b⃗ (b⃗ c⃗ )a⃗ =(a⃗ c⃗ )(b⃗ d⃗ )(a⃗ d⃗ )(b⃗ c⃗ )=a⃗ 2b⃗ 2(a⃗ b⃗ )2

矩阵

基本定理:
ABA(B+C)(AB)CBA=AB+AC=A(BC)()()()
行列式 (其中 Ai,j 是代数余子式):
det(A)=i,jnai,jAi,jdet(AB)=det(A)det(B)
矩阵的逆:

A1=1det(A)A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn
(AB)1=B1A1


该系列学习笔记主要参考 郑州师范大学 柳朝阳的《计算机图形学的概念与方法》,如需要查阅更详细的公式推导,可参考原著。