[国家集训队] 单选错位

Description

gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有ai个选项，这ai个选项编号是1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-ai的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\) 道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。

我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

Input

n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a1，由上交的程序产生数列a。下面给出C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
for (int i=2;i<=n;i++)
a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。

Output

输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。

Hint

对于\(100%\)的数据 \(2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a1≤100000000\)

Solution

观察到每个题目是否能做对的概率是相等的，所以我们对于每个题目单独考虑。

对于第 \(i\) 道题目，第 \(i-1\) 道题目的答案与第 \(i\) 道题目的答案可能的组合情况有 \(a[i-1]\times a[i]\) 种，而选对第 \(i\) 道的答案的情况只有 \(min(a[i-1],a[i])\) 种。

所以 \(ans=(\sum \limits_{i=2}^{n} \frac{min(a[i-1],a[i])}{a[i-1]\times a[i]} )+\frac{min(a[1],a[n])}{a[1]\times a[n]}\)

Code

#include<cstdio>
#define db double
#define N 10000005
#define int long long
#define min(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))

db ans;
int a[N];
int n,A,B,C;


signed main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C,a+1);
    for (int i=2;i<=n;i++)
        a[i] = (a[i-1]*A+B)%100000001;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=a[i]%C+1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans+=(db)min(a[i],a[i-1])/(db)(a[i]*a[i-1]);
    ans+=(db)min(a[1],a[n])/(db)(a[1]*a[n]);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}

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