谱聚类(Spectral Clustering)详解
谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)， 也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut
这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础
对于如下空间向量item-user matrix：
如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：
1 如果M足够大呢？
2 K的选取？
3 类的假设是凸球形的？
4 如果item是不同的实体呢？
5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？
……
这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示
如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：
邻接矩阵：E，eij表示vi和vi的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E， 其中di (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示
1.2 特征值与L矩阵
先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
假设二分成两类，S和T，用q(如公式2所示)表示分类情况，且q满足公式3的关系，用于类标识。
那么：
其中D为对角矩阵，行或列元素的和，L为拉普拉斯矩阵。
由：
有:
1、 L为对称半正定矩阵，保证所有特征值都大于等于0；
2、 L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为1。
离散求解q很困难，如果将问题松弛化为连续实数值，由瑞利熵的性质知其二将你型的最小值就是L的特征值们(最小值，第二小值，......，最大值分别对应矩阵L的最小特征值，第二小特征值，......，最大特征值，且极值q相应的特征向量处取得，请参见瑞利熵(Rayleigh quotient))。
写到此，不得不对数学家们致敬，将cut(S,T)，巧妙地转换成拉普拉斯矩阵特征值(向量)的问题，将离散的聚类问题，松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。剩下的仅是将松弛化的问题再离散化，即将特征向量再划分开，便可以得到相应的类别，如将图3中的最小特征向量，按正负划分，便得类{A,B,C}和类{D,E,F,G}。在K分类时，常将前K个特征向量，采用kmeans分类。
PS：
1、此处虽再次提到kmeans，但意义已经远非引入概念时的讨论的kmeans了，此处的kmeans，更多的是与ensemble learning相关，在此不述；
2、k与聚类个数并非要求相同，可从第4节的相关物理意义中意会；
3、在前k个特征向量中，第一列值完全相同(迭代算法计算特征向量时，值极其相近)，kmeans时可以删除，同时也可以通过这一列来简易判断求解特征值(向量)方法是否正确，常常问题在于邻接矩阵不对称。
图3 图的L矩阵的特征值与特征向量
2 最优化方法
在kmeans等其它聚类方法中，很难刻划类的大小关系，局部最优解也是无法回避的漏病。当然这与kmeans的广泛使用相斥——原理简单。
2.1 Min cut方法
如2.2节的计算方法，最优目标函数如下的图cut方法：
计算方法，可直接由计算L的最小特征值(特征向量)，求解。
2.2 Nomarlized cut方法
Normarlized cut，目标是同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免像图1中的cut出一个单独的H。衡量子图大小的标准是：子图各个端点的Degree之和。
2.3 Ratio Cut 方法
Ratio cut的目标是同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免像图1中的cut出一个单独的H。
最优目标函数为：
2.4 Normalized相似变换
归一化的L矩阵有：
因而L’的最小特征值与D-(1/2)E D-(1/2)的最大特征值对应。
而计算的L’相比计算L要稍具优势，在具体实用中，常以L’替代L，但是min cut和ratio cut不可以。
PS：这也是常常在人们的博客中，A说谱聚类为求最大K特征值(向量)，B说谱聚类为求最小K个特征值(向量的原因)。
3 谱聚类步骤
第一步：数据准备，生成图的邻接矩阵；
第二步：归一化普拉斯矩阵；
第三步：生成最小的k个特征值和对应的特征向量；
第四步：将特征向量kmeans聚类(少量的特征向量)；
4 谱聚类的物理意义
谱聚类中的矩阵：
可见不管是L、L’都与E联系特别大。如果将E看成一个高维向量空间，也能在一定程度上反映item之间的关系。将E直接kmeans聚类，得到的结果也能反映V的聚类特性，而谱聚类的引入L和L’是使得G的分割具有物理意义。
而且，如果E的item(即n)足够大，将难计算出它的kmeans，我们完全可以用PCA降维(仍为top的特征值与向量)。
上述对将E当成向量空间矩阵，直观地看符合我们的认知，但缺乏理论基础；而L(L’等)的引入，如第2节所述，使得计算具有理论基础，其前k个特征向量，也等价于对L(L’等)的降维。
因而聚类就是为图的划分找了理论基础，能达到降维的目的。
感谢志勇；
其中不少图出源于Mining of Massive Datasets，对于同仁们的布道授业，一并感谢。
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递归关系求解
问题
假设：一个反应器中有两类粒子α和β，设每秒钟一个α粒子分裂成3个β粒子，而每秒钟一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。假如在t=0时：反应器中有一个α粒子，求t秒时反应器中α粒子和β粒子的数目。
根据关系列出递归关系
a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2*b(t-1)
参考程序
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define A_size 5
int aa(int size) //aa(t)表示t时刻α的个数
{
if (size == 0)
return 1;
else
return bb(size-1);
}
int bb(int size) //bb(t)表示t时刻β的个数
{
if (size == 0)
return 0;
else
return 3 * aa(size-1) + 2 * bb(size-1);
}
int main()
{
printf("%d\n", aa(A_size) + bb(A_size));
return 0;
}
结果：243
a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2b(t-1)
得：
a(t-1)=b(t-2)
b(t) = 3*a(t-1) +2*b(t-1)
=3* b(t-2) + 2* b(t-1) (t>=2)
根据已知条件知：a(0)=1 a(1)=0 b（0）=0 b(1)=3
得到递归关系：b(t) = 2*b(t-1) + 3*b(t-2)，这是一个常系数齐次线性方程。为了求解看下解常系数齐次线性方程的一般方法。
解常系数齐次线性方程的一般方法
首先区分
特征方程与特征值
求解通解的步骤
1.根据递归关系得出特征方程，求解方程得到特征根；
2.表示出通解的一般形式（分为是否有重根）；
3.代入初始值得到系数，从而得到通解。
就本题演示一般步骤
1.把递归关系b(n)=2*b(t-1) + 3*b(t-2),表示为特征方程：x2=2x+3,得到特征值-1和3;
2.没有重根，通解表示为b(t) = c1*(-1)n + c2*(3)n;
3.带入初始值，得到c1=-3/4 c2 = 3/4,
从而得到通解：b(t) = -3/4 *(-1)n + 1/4 *(3)n+1
a(t) = -3/4 *(-1)n-1 + 1/4 *(3)n (t>=2)