高等概率论(10月12日)

高等概率论(10月12日)

有界收敛定理

设 μ(E)<∞ ， supp(fn)⊂E，fn↦mf，|fn(x)|≤M  a.e. {x∈Ec:|f(x)>ϵ|}⊂{x∈Ec:|f(x)−fn|>ϵ/2}⋃{x∈Ec:|fn(x)|>ϵ/2}

期望的性质

(Ω,F,P) 随机变量 X 当 X≥0 时，数学期望 E(X)=∫XdP 一般地，若 E(X+)<∞ 或 E(X−)<∞ ，期望 E(X)=E(X+)−E(X−) ，记为 μ .

期望的性质： 设 X,Y>0 或 E(X),E(Y)<∞

(i)     E(X+Y)=E(X)+E(Y)(ii)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(iii)     X≥Y⇒E(X)≥E(Y)

其他重要性质，如Jensen，Holder不等式，Fatou引理，单调收敛与控制收敛定理.

记号 E(X;A)=∫AXdP ， A∈F

定理1.5.6：

设 φ:R↦[0,∞) 可测， A∈F ，记 iA=inf{φ(y):y∈A} 则

iAP(X∈A)≤E(φ(X):X∈A)≤E(φ(A))

分析：

iAIX∈A≤φ(X)|{X∈A}≤φ(X)

取期望，特例 φ(X)=X2，A={X∈R:|X|≥a}a>0⇒E(X2)≥a2P(|X|≥a) (Chebyshev不等式)

⇔P(|X|≥a)≤E(X2)a2

例1.5.2

φ:R↦[0,M] ， a∈[0,M] ， P(φ(X)≥a)

令 A={φ(X)≥a} ， φ(X)=φ(X)|A+φ(X)|Ac≤M|A+a|Ac

取期望 E(φ(X))≤MP(φ(X)≥a)+a(1−P(φ(X)≥a)

⇒P(φ(X)≥a)≥E(φ(X))−aM−a

(Ω,F,P)，(S,S)，X:Ω↦S 可测

X 可诱导上 (S,S) 概率测度， ∀A∈S，μ(A):=P(X∈A) μ 称为分布

定理1.5.7(佚名统计学家公式)

设 X:Ω↦S 可测，有分布 μ ，又设 f:S↦R 可测，且 f≥0 或 E(|f(X)|)<∞ ，则

E(f(X))=∫Sf(y)μ(dy)

分析：四部曲

step 1: 示性函数 B∈S，f=1B

>E(f(X))=P(X∈B)=μ(B)=∫S1B(y)μ(dy)>

step 2: 简单函数 f=∑nk=1ck1Bk ， Bk∈S

>E(f(X))=∑kckE(1Bk(X))=∑kck∫S1B(y)μ(dy)=∫Sf(y)μ(dy)>

step 3: 非负 f≥0 令

>fn(X)=(2−n[2nf(X)])∧n，则fn↑f>

由单调收敛

>E(f(X))=limn↦∞E(fn(X))=limn↦∞∫Sfn(y)μ(dy)=∫Sf(y)μ(dy)>

step 4: 可积 f(X)=f+(X)−f−(X) ， E(f(X))=E(f+(X))−E(f−(X))=∫Sf+(y)μ(dy)−∫Sf−(y)μ(dy)=∫Sf(y)μ(dy)

例1.5.3

X∼N(0,1) ，密度 ϕ(X)=12πe−12x2 ， x∈(−∞,∞)

(1)令 H0=1 定义 (−1)nHn(X)ϕ(X)=ϕ(n)(X) ， 证明 Hn(X)=xn+…

(2) E(Hm(X)Hn(X))=?

分析：

(1) ϕ′(x)=−xϕ(x)⇒H1=x

求微积分 (−1)nHnϕ+(−1)nHnϕ′(x)=ϕ(n+1)(x)⇒Hn+1=xH

(2)

∫∞−∞Hm(x)Hn(x)ϕ(x)dx=m≤n(−1)n∫∞−∞Hm(x)ϕ(n)(x)dx=(−1)n−m∫∞−∞H(n)m(x)ϕ(n−m)(x)dx=m!(−1)n−m∫∞−∞ϕ(n−m)(x)dx={0    n>mm!      n=m

另外，有Taylor公式

ϕ(x−t)=∑n=0∞(−t)nn!ϕ(n)(x)=∑tnn!Hn(x)ϕ(x)⇒∑n=0∞tnn!Hn(x)=e−12t2+xt

作业：1.5.6  1.6.2  1.6.4  1.6.6  1.6.11

作业讲解

Let C be a collection of sets

A∈C⇒Ac∈m(X)A,B∈CA⋂B=ϕ⇒A⋃B∈m(C)⇒λ(C)=m(C)

①a∈m(C)⇒Ac∈m(C)②A,B∈m(C)，A⋂B∈m(C)

proof1: