高等概率论
回顾
基本性质（经典概率）：
(i)非负性：
f≥0⇒∫fdμ≥0
(ii)线性性 ：
∀a,b∈R∫(af+bg)dμ=a∫fdμ+b∫gdμ
(iii)归一性：
∫E1dμ=μ(E)
积分与期望
抽象积分
定理1.5.1(Jensen不等式)
设
φ
下凸，即任意
λ∈(0,1)
有
λφ(x)+(1−λ)φ≥φ(λx+(1−λ)y)
，
μ(Ω)=1
，且
f
与
φ(f)
均可积
则
∫φ(f)dμ≥φ(∫fdμ)
分析 令
c=∫fdμ
断言 存在
a∈R
s.t.
φ(x)≥L(x)
这里
L(x)=a(x−c)+φ(c)
取积分
∫φ(f)dμ≥∫(a(f−c)+φ(c))dμ=φ(c)
构造
gL(t)=φ(c)−φ(c−t)tgR(t)=φ(c+t)−φ(t)tt≥0
可知前者单减后者单增，由极限保号性可知
c
在两者之间
定理1.5.2（Holder不等式）
设
p,q>1
且
1/p+1/q=1
，则当
∥f∥p<∞
,
∥g∥q<∞
有
|∫fgdμ|≤∥f∥p∥g∥q
分析：
当
∥f∥p=0
时，
断言
f=0a.e
(因为
μ({x:||f(x)|>ϵ})
)
不妨设
∥f∥p=∥g∥q=1
对
φ(x)=xp/p+yq/q−xy−x≥0
φ′(x)=xp−1−yφ′′(x)=(p−1)xp−2≥0
表明
φ(x)
有最小值
φ(x0)
|f|p/p+|g|p/p≥|f||g|
取积分可知
limn↦∞∫fn(x)dμ=?∫limn↦∞fn(x)dμ
回顾依测度收敛：
∀ε>0μ({x:|fn(x)−f(x)|>ε})↦0，n↦∞fn↦mf
定理1.5.3
设
μ(E)<∞,supp(fn)⊂E
，且
∀n,|fn|≤M
,若
fn↦mf
，则有
limn↦∞∫fn(x)dμ=∫fdμ
证明：令
Gn={x:|fn(x)−f(x)|<ϵ}
则
|∫fndμ−∫fdμ|=|∫(fn−f)dμ|≤∫|fn−f|dμ=∫Gn+∫E−Gn≤ϵμ(Gn)+2Mμ(E−Gn)
可以任意小
{x∈E:|f|≤M+δ}⊃{|fn−f|≤δ}⋂{x∈E:|fn|≤M}
例1.5.1：
fn(x)=1/n\quacx∈[0,1]0否则
定理1.5.3不成立
定理1.5.4（Fatou引理）
设
fn≥0
则
limn↦∞inf∫fndμ≥∫limn↦∞inffndμ
分析：
令
gn(x)=infm≥nfm(x)
则
fn(x)≥gn(x)
且
gn↑g(x):=limn↦∞inffn
因为
∫fndμ≥gndμ
只需证
∫g(x)dμ≤∫gndμ
取
Em↑Ω
且
μ(Em)<∞
，则对固定m，
(gn∧m)|Em↑(g∧m)|Em
.定理表明：
limn↦∞inf∫gndμ≥limn↦∞∫Em(gn∧m)dμ↦∫Em(g∧m)dμ↦m↦∞∫gdμ
定理1.5.5
(1)单调收敛 ：设
fn≥0,fn↑f
则
∫fndμ↦n↦∞∫fdμ
(2)控制收敛：
|fn|≤g
,fn≥0,fn↦f
,且
∫gdμ<∞
则
∫fndμ↦n↦∞∫fdμ
证明：
(1)Fatou引理
limn↦∞inf∫fndμ≥∫fdμ
∫fndμ≤∫fdμ
去上极限知
limn↦∞sup∫fndμ≤∫fdμ
(2)
fn+g≥0⇒Fatoulimn↦∞inf∫(fn+g)dμ≥∫(f+g)dμ⇒limn↦∞inf∫fndμ≥∫fdμ
另一方面，对一-f_n
有
limn↦∞inf∫(−fn)dμ≥−∫fdμ⇒limn↦∞sup∫fndμ≤∫fdμ
$
作业1.5.1,1.5.2,1.5.9
