今天还是在看《初等数论》，今天看的没昨天那么快，确实在一些有意思的题目上停留了许多时间。其实之前数分老师就曾经说过数学课本就如同侦探小说一样精彩。环环相扣的定理引理例题，就连课后小题的结论都经常会在后面当定理用。继续回顾一下。
1，设p是奇素数，q是(2^p)-1是素因数，证明q=2kp+1。。
证明：根据定理因为q是奇素数，所以 q | ((2^(q-1))-1) 且 q | ((2^(p,q-1))-1)，所以推出p|q-1。。。记笔记
2，设p是素数，证明：
(i)，p|C(p,j)，1<=j<=p-1。 (ii)对任意正整数a,p|((a^p)-a)。 (iii)若(a,p)=1,则p|((a^(p-1))-1)。
这个定理，(i)显然，(ii)用归纳法证明，设a=1时，a=n时，推导a=n+1时，直接将其展开化简。这也就是著名的费马小定理a^(p-1)≡1(mod p)。
3，设m>=2，(m,a)=1，证明：
(i)存在正整数d<=m-1，使得m|((a^d)-1)。
(ii) 设d0满足(i)的最小正整数d，那么m|((a^h)-1)(h>=1)的充要条件时d0|h.
这个定理在后面证明里很重要。证明比较巧妙，利用带余除法和余数剩余个数的规律推出。
4，设(a,b)=1，证明： (d,ab)=(d,a)(d,b)
5，(i)[a,b,c](ab,bc,ca)=(a,b,c)[ab,bc,ca]=(a,b,c)[a,b,c][(a,b)(b,c)(c,a)]=abc
(ii) [a,b,c]=abc的充要条件(a,b)=(b,c)=(c,a)=1;
证明：[a,b,c]=[ [a,b] , c ]=[ ab/(a,b) , c ]=abc/( ab , (a,b)c ) 就是灵活运用那几个定理。
6， 若(a,b)=1，则任一整数n必可表为n= ax+by， x,y是整数，由(a,b)=1，ax0+bx0=1
7，( (a^m)-1 ,(a^n)-1)=(a^(m,n))-1。 证明方法前面写了
8，设a>b>=1，(a,b)=1，证明： ( a^m-b^m , a^n-b^n )=a^(m,n)-b^(m,n)，，，还是之前的方法，这是一般式
9，设a是正整数，x(a)表示a的所有整除数之和（通常称为除数和函数），那么x(1)=1,当a有标准素因数分解式a=(p1^a1)...(pn^an)时， x(a)=((p1^(a1+1))-1)/(p1-1)*.....*((ps^(as+1))-1)/(ps-1)=x(p1^a1)*...*x(ps^as)。
这个定理比较重要。。。
10，[x]+[y]<=[x+y]<=[x]+[y]+1
11，设n是正整数，p是素数，a=a(p,n)满足p^n|n!，那么a=a(p,n)=[n/p]+[n/p^2]+...[n/p^s]。 这是定义
a(2,20)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]。
12，设n时正整数，有(n!)=p1^(a(p1,n))+...pk^(a(pk,n)) （p<=n）。 一种求n!的方法。
13，m个相邻整数的乘积可以被m!整除。。。记笔记
14，对任意实数x有[x]+[x+1/2]=[2x]
15，证明对任意整数n>=2及实数x有[x]+[x+1/n]+...+[x+(n-1)/n]=[nx]。
不妨设0<=x<1，必有整数k，0<=k<=n-1，使k/n<=x<(k+1)/n，这样易证等式两边都等于k。
16，[x-y]<=[x]-[y]<=[x-y]+1 {x+y}<={x}+{y}
17，((2n)!!)=(2n)(2n-2)...2
18，设整数aj>0(1<=j<=s)，并且n=a1+a2+...an，证明：(n!)/(a1!*a2!*...*an!)是整数
证明：利用a(p,n)>=a(p,a1)+a(p,a2)+...+a(p,as)，结合定理[x]+[y]<=[x+y]<=[x]+[y]+1和条件n=a1+...an证出。
这个结论也比较重要
19，欧拉函数的性质。x(n)=n*(1-1/p1)...(1-1/pn)。且x(n1n2)=x(n1)x(n2)积性函数性质
20，利用容斥原理找出max(a1,a2,...an)=(ai1+ai2+..ain)-(min(ai1,ai2)+...min(aix,aiy))+....(-1)^(m-1)(min(a1,a2,am)+...)。非常有意思的一道题。
21，Pi(x)=表示不超过x的素数个数。
22，设全体素数按从小到大排序是：p1=2,p2=3,p3,p4,,,,,。
有pn<=2^(2^(n-1)) n=1,2,,,
Pi(x)>log(log2(x)) x>=2 这里log2(y)表以2为底的对数。
依旧整理赶上进度，明天继续。