题目链接: http://poj.org/problem?id=1222
题意: 有一个 5 * 6 的初始矩阵, 1 表示一个亮灯泡, 0 表示一个不亮的灯泡. 对 (i, j) 位置进行一次操作则 (i, j), (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j - 1), (i, j + 1) 位置的灯泡变为原来的相反状态, 输出一种能让所有灯泡都变成不亮状态的操作集合.
思路:
1. 可以先枚举第一行的所有操作集合, 2^6 种, 第一行的每一种操作后都得到一个灯泡状态集合, 然后再根据第一行的灯泡状态确定第二行的操作, 若 (1, j) 亮, 则(2, j) 必定要进行一次操作, 若(1, j) 不亮, 则 (2, j) 一定不能进行操作. 依次根据上一行的灯泡状态确定下一行的操作. 然后再对最后一行灯泡的状态进行检查, 若全部不亮则得到一个解.
代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std; const int N = ;
const int M = ;
const int MAXN = ;
int mp[MAXN][MAXN], sol[MAXN][MAXN];
bool flag = false;
int cas; bool check(void){
int gel[MAXN][MAXN];
memcpy(gel, mp, sizeof(mp));
for(int i = ; i <= M; i++){
if(sol[][i]){
gel[][i] ^= ;
gel[][i - ] ^= ;
gel[][i + ] ^= ;
gel[][i] ^= ;
gel[][i] ^= ;
}
}
for(int i = ; i <= N; i++){
for(int j = ; j <= M; j++){
if(gel[i - ][j]){
sol[i][j] = ;
gel[i][j] ^= ;
gel[i][j - ] ^= ;
gel[i][j + ] ^= ;
gel[i - ][j] ^= ;
gel[i + ][j] ^= ;
}else sol[i][j] = ;
}
}
for(int i = ; i <= M; i++){
if(gel[N][i]) return false;
}
printf("PUZZLE #%d\n", cas);
for(int i = ; i <= N; i++){
for(int j = ; j <= M; j++){
cout << sol[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return true;
} void dfs(int m){
if(flag) return;
if(m > M){
if(check()) flag = true;
return;
}
sol[][m] = ;
dfs(m + );
sol[][m] = ;
dfs(m + );
} int main(void){
int t;
cin >> t;
for(cas = ; cas <= t; cas++){
for(int i = ; i <= N; i++){
for(int j = ; j <= M; j++){
cin >> mp[i][j];
}
}
flag = false;
dfs();
if(!flag){
printf("PUZZLE #%d\n", cas);
cout << "inf" << endl;
}
}
return ;
}
2. 把 30 个灯泡对应的操作当作 30 个未知数, 其解为 1 或 0, 1 表示对该位置进行一次操作, 0 表示不对该位置进行操作, 每个操作对应一个 1* 30 系数矩阵, 1 表示进行该操作后这个位置的灯泡状态会改变, 0 表示进行该操作后该位置的灯泡状态不会改变. 然后可以列 30 个方程, 常数项为对应位置的灯泡初始状态. 然后直接用高斯消元解一下即可.
关于高斯消元:
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。从最后一行开始回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，*变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，*变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
这段话是从其他博客中摘过来的.
代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std; const int MAXN = 3e2;
int equ = , var = ;//有equ个方程,var个变元,增广矩正行数为equ,列数为var+1,从0开始计数
int a[MAXN][MAXN];//增广矩正
int free_x[MAXN];//用来存储*变元(多解枚举*变元可以使用)
int free_num;//*变元个数
int x[MAXN];//解集 int Gauss(void){//返回-1表示无解,0表示有唯一解,否则返回*变元个数
int max_r, col, k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var; k++, col++){
max_r = k;
for(int i = k + ; i < equ; i++){
if(abs(a[i][col] > abs(a[max_r][col]))) max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == ){
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是变元
continue;
}
if(max_r != k){
for(int j = col; j < var + ; j++){
swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
}
for(int i = k + ; i < equ; i++){
if(a[i][col] != ){
for(int j = col; j < var + ; j++){
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
}
for(int i = k; i < equ; i++){
if(a[i][col] != ) return -;//无解
}
if(k < var) return var - k;//返回*变元个数
for(int i = var - ; i >= ; i--){
x[i] = a[i][var];
for(int j = i + ; j < var; j++){
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
}
return ;
} int main(void){
int t, n;
cin >> t;
for(int cas = ; cas <= t; cas++){
for(int i = ; i < ; i++){
cin >> a[i][];
x[i] = ;//清空数组
}
for(int i = ; i < ; i++){//构造增广矩阵
int x1 = i / ;
int y1 = i % ;
for(int j = ; j < ; j++){
int x2 = j / ;
int y2 = j % ;
if(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) < ) a[j][i] = ;
else a[j][i] = ;
}
}
Gauss();
cout << "PUZZLE #" << cas << endl;
for(int i = ; i < ; i++){
cout << x[i] << " ";
if((i + ) % == ) cout << endl;
}
}
return ;
}