生成树，是原连通图的极大无环子图，而最小生成树则是所有权值之和最小的这种图。
kruskal算法的入手点是边。它每次取出这个图中权值最小的一条边，并得到这条边关联的两个顶点v1、v2，
接着验证v1、v2之间是否存在通路，如果存在通路则舍弃它，如果不存在则将这两个顶点压入最小生成树中。
在我的程序中，实现取图中权值最小的边用的是小根堆，实现判断两个顶点v1、v2是否存在通路用的是并查集，因为存在通路意味着两个顶点属于同个集合。
小根堆模块
int heapNum=0; //记录堆的结点个数
//堆的结点结构
struct Heap
{
int sta,en;
int weight;
} heap[100];
//下滑操作
void siftDown(int start,int end)
{
//将start号结点向下调整直到end
int i=start,j=2*i;
heap[0]=heap[i]; //用heap[0]来临时保存i结点的值
while(j<=end)
{
//有右孩子并且右孩子比左孩子小时，将j保存右孩子
if(j<end&&heap[j].weight>heap[j+1].weight) ++j;
//比j号结点小时，不需调整
if(heap[0].weight<=heap[j].weight)
break;
else
{
//向下调整
heap[i]=heap[j];
i=j;
j=2*j;
}
}
heap[i]=heap[0];
}
void siftUp(int start)
{
int j=start,i=j/2;
heap[0]=heap[j];
while(j>0)
{
if(heap[i].weight<=heap[0].weight)
break;
else
{
//向上调整工作
heap[j]=heap[i];
j=i;
i=i/2;
}
}
heap[j]=heap[0];
}
//插入操作的实现
bool insert(Heap temp)
{
++heapNum;
heap[heapNum]=temp;
siftUp(heapNum);
return true;
}
//删除操作
bool removeMin(Heap& temp)
{
//保留下根结点
temp=heap[1];
heap[1]=heap[heapNum]; //填补树根
--heapNum;
siftDown(1,heapNum); //将根结点下滑到尾部
return true;
}
并查集模块
int parent[100];
//查找i所在的集合的元首，并对该树形结构进行优化
int collaspingFind(int i)
{
int r=i;
for(;parent[r]>=0;r=parent[r]);
while(i!=r)
{
int s=parent[i];
parent[i]=r;
i=s;
}
return r;
}
void weightedUnion(int i,int j)
{
int temp=parent[i]+parent[j];
//负数值大的反而小，树i的结点较小时
if(parent[j]<parent[i])
{
parent[i]=j; //将i的父亲设为j
parent[j]=temp;
}
else
{
parent[j]=i;
parent[i]=temp;
}
}
图模块
struct LinkNode
{
int vex; //邻接的结点在数组中的编号
LinkNode* next;
int weig; //结点的权值
};
//定义图结点的最大个数
const int MaxSize=10;
bool visitedMini[10]={false};
struct Node
{
int data;
LinkNode* head;
//将结点邻接的链表头置为空
Node(){ head=0;}
} Adj[MaxSize],miniTree[MaxSize]; //Adj数组表示原来的图
//miniTree表示最小生成树
//建立图的算法
void createLink(int& numNode)
{
int numLink=0;
LinkNode* ptr;
cin>>numNode;
for(int i=1;i<=numNode;++i)
{
cin>>Adj[i].data;
cin>>numLink;
//头插入建表
for(int j=0;j<numLink;++j)
{
ptr=new LinkNode;
cin>>ptr->vex;
cin>>ptr->weig;
ptr->next=Adj[i].head;
Adj[i].head=ptr;
}
}
}
//图的深度优先访问
void DFS(int v)
{
LinkNode* ptr=0;
visitedMini[v]=true;
cout<<miniTree[v].data<<" ";
ptr=miniTree[v].head;
//每个邻接点都有机会访问
while(ptr!=0)
{
//没访问过时递归访问
if(!visitedMini[ptr->vex])
DFS(ptr->vex);
ptr=ptr->next; //到下个邻接点
}
}
最小生成树的实现模块
//将图中的所有边存入堆中
void inHeap(int& numNode)
{
LinkNode* ptr=0;
for(int v=1;v<=numNode;++v)
{
ptr=Adj[v].head;
//每个邻接点都有机会访问
while(ptr!=0)
{
//将图中的边和所关联的两个结点压入堆中
Heap temp;
temp.sta=v;
temp.en=ptr->vex;
temp.weight=ptr->weig;
//只放入sta<en的顺序的边，来避免将边重复放入
if(temp.sta<temp.en)
insert(temp);
ptr=ptr->next; //到下个邻接点
}
}
}
//将两个结点及其对应关系插入最小生成树中
void insertTree(int st,int en,int weig)
{
LinkNode* ptr=new LinkNode;
ptr->vex=en;
ptr->weig=weig;
ptr->next=miniTree[st].head;
miniTree[st].head=ptr;
}
//求最小生成树的算法
void kruskal()
{
int nodeNum=0;
createLink(nodeNum);
//初始化并查集
for(int i=1;i<=nodeNum;++i)
parent[i]=-1;
//将所有边存入堆中
inHeap(nodeNum);
int cntNum=1;
while(cntNum<nodeNum)
{
Heap temp;
//取堆中权值最小的结点
removeMin(temp);
int stRoot=collaspingFind(temp.sta);
int enRoot=collaspingFind(temp.en);
if(stRoot!=enRoot)
{
weightedUnion(stRoot,enRoot);
//将这两个点存入最小生成树中
miniTree[temp.sta].data=Adj[temp.sta].data;
miniTree[temp.en].data=Adj[temp.en].data;
insertTree(temp.sta,temp.en,temp.weight);
insertTree(temp.en,temp.sta,temp.weight);
++cntNum;
}
}
}