最优流水调度问题
问题描述:
设有n个作业,每一个作业i均被分解为m项任务: Ti1, Ti2, ┅ , Tim(1≤i≤n,故共有n*m个任务),要把这些任务安排到m台机器上进行加工。
现在有三条限定:
1、 每个作业i的第j项任务Tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)只能安排在机器Pj上进行加工;
2、 作业i的第j项任务Tij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后;
3、 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。
最优流水作业调度:设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。如果所有的tij(1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出,要找出一种安排任务的方法,使得完成这n个作业的加工时间为最少。已经证明,当机器数(或称工序数)m≥3时,流水作业调度问题是一个NP-hard问题。
这里就考虑n个作业对于2个机器(P1,P2)的调度。现在问题就是:给定n个作业T,每个作业可以分成两项任务A,B;其中A任务在P1处理,B任务在P2上处理。如何给出一个使得这个n个作业的加工时间最短?
问题解决:
分析:
首先考虑最优流水调度的性质:
1、 在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后,剩下的作业排列仍然还是一个最优调度,即该问题具有最优子结构的性质。
2、 在计算规模为n的作业集合的最优调度时,需多次使用该作业集合的子集合的最优调度,即该问题亦具有高度重复性。
So… 考虑用动态规划求解这个问题咯~
设N={1,2,┅,n}是全部作业的集合,作业集S是N的子集S∈N。在我们对S中的第一个作业开始进行加工时,机器P2上加工的其它作业可能还尚未完成,不能立即用来对S中的作业进行加工。
假设对机器P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工(t也可以为0即无须等待),记为g(S,t)。
现选定作业i为S中第一个加工作业之后,在机器P2上开始对S-{i}中的作业进行加工之前,所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。这是因为,若P2在开始加工S中的作业之前需等待t个时间单位且t > ai,则作业i在P1上加工完毕(需时ai)之后,还要再等t-ai个时间单位才能开始在P2上加工;若t≤ai,则作业i在P1上加工完毕之后,立即可以在P2上加工,等待时间为0。故P2在开始对S-{i}中的作业进行加工之前,所需要的等待时间为t’= bi+max{t-ai,0}。(bi是作业i在P2上加工所需的时间)。所以,假定ai为已知的使得g(S,t)值最小的第一个执行的作业,可以得到
g(S,t)= ai+ g(S-{i},bi+max{t-ai,0}) (1)
将以上结论推广,现在我们安排首先执行作业i,再执行作业j,P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工。则由(1)式的g(S,t)可写为
g(S,t)=ai+g(S-{i}, t’)=ai+aj+g(S-{i,j}, bj+max{t’-aj,0})。 (2)
关于max{}运算有这个性质:x+ max{y1, y2,…,yn}= max{x+y1,x+y2,…,x+yn}。
所以,
bj+max{t’-aj,0}
= bj + max{bi+max{t-ai,0}-aj, 0}
= bj + bi - aj+ max{max{t-ai,0},aj-bi}
= bj + bi - aj + max{t-ai, 0, aj-bi}
= bj+ bi - aj - ai + max{t, ai, ai+aj-bi}。
记tij= bj+ bi - aj- ai +max{t, ai, ai+aj-bi},则g(S,t)= ai+aj+g(S-{i,j}, tij)。
还记得之前我们的安排了吗?我们约定先调度作业i再调度作业j,有没有发现,我们推到了半天没有什么实质性结果啊,因为现在我们还根本不知道i和j是什么啊,如何确定?
因此,既然说先i后j是最优的,凭什么?将j和i对调下,那就不是最优的咯,那对调后不是最优的根源处在哪儿呢?我们试试。
若是先调度j作业再调度i作业,我们可以得到g’(S,t)=ai+aj+g(S-{i,j}, tji)。
比较g(S,t)与g’(S,t)两式,显然,就是比较tij和tji。
tij= bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi},
tji= bj+ bi - aj - ai + max{t, aj, ai+aj-bj},
故tij-tji= max{t, ai, ai+aj-bi} - max{t, aj, ai+aj-bj}。
因此我们只要比较max{t, ai, ai+aj-bi}与max{t, aj, ai+aj-bj}的大小就可以了,即tij≦ tji当且仅当max{t, ai, ai+aj-bi} ≤max{t, aj, ai+aj-bj}。
由于max{t, ai, ai+aj-bi}≤ max{t, aj, ai+aj-bj}
对任何t≧ 0成立,当且仅当
max{ai, ai+aj-bi}≤ max{aj, ai+aj-bj}成立,当且仅当
ai+aj+max{-aj, -bi}≦ai+aj+max{-ai, -bj}成立,当且仅当
max{-aj, -bi}≦ max{-ai, -bj}成立,当且仅当
min{aj, bi}≧ min{ai, bj}成立(此式称为Johnson不等式)。
当min{ ai , aj , bi , bj}为ai或者bj时,有tij≤ tji,此时把i排在前j排在后的调度用时较少;
反之,若min{ ai , aj , bi, bj}为aj或者bi时,则j排在前i排在后的调度用时较少。
将此情况推广到一般。
当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }=ak时,则对任何i≠k,都有min{ai, bk} min{ak, bi}成立,故此时应将作业k安排在最前面,作为最优调度的第一个执行的作业;
当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn}= bk时,则对任何i≠k,也都有min{ak, bi}min{ai, bk}成立,故此时应将作业k安排在最后面,作为最优调度的最后一个执行的作业。
算法描述:
1. 建立长为2n的数组C,
将a1, a2,┅, an依次放入C[1]~ C[n]中,
b1, b2,┅, bn依次放入C[n+1]~ C[2n]中。 /* O(n),下面将对这2n个数进行排序*/
2. 对长为2n的数组D进行初始化:
D[1]~D[n]中依次放1,2,┅,n,
D[n+1]~D[2n]中依次放-1,-2,┅,-n。 /* O(n),分别对应于a1, a2,┅, an和b1, b2,┅, bn的下标*/
3. 对数组C进行排序,
D[k]始终保持与C[k]的对应关系。(O(n log n),若C[i]与C[j]对换,则D[i]也与D[j]对换。)
当a1, a2,┅, an及b1, b2,┅, bn按从小到大排好序之后,D[1]~ D[2n]也就按从小到大的次序记录了这些ai和bj的下标即作业号(bj的下标前有一负号以区别于ai))。
4. 将E[1]~ E[n]全部置为“No”。/* O(n),表示所有任务均尚未被安排*/
5. 下标变量初始化:i←1;j←n;k←1; /*O(1),*/
/*i指向当前最左空位F[i],*/
/*放当前应最先安排的作业号;*/
/* j指向当前最右空位F[j],*/
/*放当前应最后安排的作业号;*/
/* k从1开始逐次增1,D[k](或-D[k])*/
/*按ai和bj从小到大的次序依次给出作业号。*/
6. while i ≤ j do
{ /* 作业尚未安排完毕,i从小到大, j从大到小*/
if D[k]>0 then /*D[k]>0即D[k]中放的是ai下标*/
{ if E[D[k]]为“No”then /*作业D[k]尚未安排*/
{ F[i]←D[k]; i增1; E[D[k]] 置为“Yes”}
}/*作业D[k]放在当前最左空位*/
else /*D[k]<0,则–D[k]是bj下标*/
{ if E[–D[k]]为“No”then /*作业–D[k]尚未安排*/
{ F[j]←–D[k]; j减1; E[–D[k]] 置为“Yes”}
} /*作业–D[k]放在当前最右空位*/
k增1; /*准备检查下一个D[k]以便后续作业安排*/
}
C语言实现:
算法实现结果:
that's all~