动态规划之 最优流水调度问题

时间:2022-04-28 11:28:28

最优流水调度问题

问题描述:

       设有n个作业,每一个作业i均被分解为m项任务: Ti1, Ti2, ┅ , Tim(1≤i≤n,故共有n*m个任务),要把这些任务安排到m台机器上进行加工。

       现在有三条限定:

       1、  每个作业i的第j项任务Tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)只能安排在机器Pj上进行加工;

       2、  作业i的第j项任务Tij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后;

       3、  任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。

       最优流水作业调度:设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。如果所有的tij(1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出,要找出一种安排任务的方法,使得完成这n个作业的加工时间为最少。已经证明,当机器数(或称工序数)m≥3时,流水作业调度问题是一个NP-hard问题。

       这里就考虑n个作业对于2个机器(P1,P2)的调度。现在问题就是:给定n个作业T,每个作业可以分成两项任务A,B;其中A任务在P1处理,B任务在P2上处理。如何给出一个使得这个n个作业的加工时间最短?

问题解决:

分析:

       首先考虑最优流水调度的性质:

       1、 在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后,剩下的作业排列仍然还是一个最优调度,即该问题具有最优子结构的性质。

       2、 在计算规模为n的作业集合的最优调度时,需多次使用该作业集合的子集合的最优调度,即该问题亦具有高度重复性

       So… 考虑用动态规划求解这个问题咯~

 

       设N={1,2,┅,n}是全部作业的集合,作业集S是N的子集S∈N。在我们对S中的第一个作业开始进行加工时,机器P2上加工的其它作业可能还尚未完成,不能立即用来对S中的作业进行加工

       假设对机器P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工(t也可以为0即无须等待),记为g(S,t)。

       现选定作业i为S中第一个加工作业之后,在机器P2上开始对S-{i}中的作业进行加工之前,所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。这是因为,若P2在开始加工S中的作业之前需等待t个时间单位且t > ai,则作业i在P1上加工完毕(需时ai)之后,还要再等t-ai个时间单位才能开始在P2上加工;若t≤ai,则作业i在P1上加工完毕之后,立即可以在P2上加工,等待时间为0。故P2在开始对S-{i}中的作业进行加工之前,所需要的等待时间为t’= bi+max{t-ai,0}。(bi是作业i在P2上加工所需的时间)。所以,假定ai为已知的使得g(S,t)值最小的第一个执行的作业,可以得到

               g(S,t)= ai+ g(S-{i},bi+max{t-ai,0})                                   (1)

       将以上结论推广,现在我们安排首先执行作业i,再执行作业j,P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工。则由(1)式的g(S,t)可写为

               g(S,t)=ai+g(S-{i}, t’)=ai+aj+g(S-{i,j}, bj+max{t’-aj,0})。    (2)

 

       关于max{}运算有这个性质:x+ max{y1, y2,…,yn}= max{x+y1,x+y2,…,x+yn}。

       所以,

               bj+max{t’-aj,0}

               = bj + max{bi+max{t-ai,0}-aj, 0}

               = b+ bi - aj+ max{max{t-ai,0},aj-bi}

               = bj + bi - aj + max{t-ai, 0, aj-bi}

               = bj+ bi - aj - ai + max{t, ai, ai+aj-bi}。

               tij= bj+ bi - aj- ai +max{t, ai, ai+aj-bi},则g(S,t)= ai+aj+g(S-{i,j}, tij)。

       还记得之前我们的安排了吗?我们约定先调度作业i再调度作业j,有没有发现,我们推到了半天没有什么实质性结果啊,因为现在我们还根本不知道i和j是什么啊,如何确定?

       因此,既然说先i后j是最优的,凭什么?将j和i对调下,那就不是最优的咯,那对调后不是最优的根源处在哪儿呢?我们试试。

       若是先调度j作业再调度i作业,我们可以得到g’(S,t)=ai+aj+g(S-{i,j}, tji)。

       比较g(S,t)与g’(S,t)两式,显然,就是比较tij和tji

              tij= bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi},

              tji= bj+ bi - aj - ai + max{t, aj, ai+aj-bj},

              故tij-tji= max{t, ai, ai+aj-bi} - max{t, aj, ai+aj-bj}。

       因此我们只要比较max{t, ai, ai+aj-bi}与max{t, aj, ai+aj-bj}的大小就可以了,即tij≦ tji当且仅当max{t, ai, ai+aj-bi} ≤max{t, aj, ai+aj-bj}。

              由于max{t, ai, ai+aj-bi}≤ max{t, aj, ai+aj-bj}

                      对任何t≧ 0成立,当且仅当

                         max{ai, ai+aj-bi}≤ max{aj, ai+aj-bj}成立,当且仅当

                        ai+aj+max{-aj, -bi}≦ai+aj+max{-ai, -bj}成立,当且仅当

                        max{-aj, -bi}≦ max{-ai, -bj}成立,当且仅当

                        min{aj, bi}≧ min{ai, bj}成立(此式称为Johnson不等式)。

                        当min{ ai , aj , bi , bj}为ai或者bj时,有tij≤ tji,此时把i排在前j排在后的调度用时较少;

                        反之,若min{ ai , aj , bi, bj}为aj或者bi时,则j排在前i排在后的调度用时较少。

        将此情况推广到一般。

        当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }=ak时,则对任何i≠k,都有min{ai, bk}  min{ak, bi}成立,故此时应将作业k安排在最前面,作为最优调度的第一个执行的作业;

        当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn}= bk时,则对任何i≠k,也都有min{ak, bi}min{ai, bk}成立,故此时应将作业k安排在最后面,作为最优调度的最后一个执行的作业。

算法描述:

       1.    建立长为2n的数组C,

              将a1, a2,┅, an依次放入C[1]~ C[n]中,

              b1, b2,┅, bn依次放入C[n+1]~ C[2n]中。    /* O(n),下面将对这2n个数进行排序*/

       2.    对长为2n的数组D进行初始化:

               D[1]~D[n]中依次放1,2,┅,n,

               D[n+1]~D[2n]中依次放-1,-2,┅,-n。     /* O(n),分别对应于a1, a2,┅, an和b1, b2,┅, bn的下标*/

       3.    对数组C进行排序,

               D[k]始终保持与C[k]的对应关系。(O(n log n),若C[i]与C[j]对换,则D[i]也与D[j]对换。) 

               当a1, a2,┅, an及b1, b2,┅, bn按从小到大排好序之后,D[1]~ D[2n]也就按从小到大的次序记录了这些ai和bj的下标即作业号(bj的下标前有一负号以区别于ai))。

        4.    将E[1]~ E[n]全部置为“No”。/* O(n),表示所有任务均尚未被安排*/

        5.    下标变量初始化:i←1;j←n;k←1;  /*O(1),*/

               /*i指向当前最左空位F[i],*/

               /*放当前应最先安排的作业号;*/

               /* j指向当前最右空位F[j],*/

               /*放当前应最后安排的作业号;*/

               /* k从1开始逐次增1,D[k](或-D[k])*/

               /*按ai和bj从小到大的次序依次给出作业号。*/

         6.    while i ≤ j do

                {     /* 作业尚未安排完毕,i从小到大, j从大到小*/

                     if D[k]>0 then   /*D[k]>0即D[k]中放的是ai下标*/

                         {  if E[D[k]]为“No”then  /*作业D[k]尚未安排*/

                                { F[i]←D[k]; i增1; E[D[k]] 置为“Yes”}

                          }/*作业D[k]放在当前最左空位*/

                     else         /*D[k]<0,则–D[k]是bj下标*/

                         {  if E[–D[k]]为“No”then /*作业–D[k]尚未安排*/

                                { F[j]←–D[k]; j减1; E[–D[k]] 置为“Yes”}

                          } /*作业–D[k]放在当前最右空位*/

                      k增1; /*准备检查下一个D[k]以便后续作业安排*/

                  } 

C语言实现:                   

 

[cpp]  view plain  copy
  1. #include <stdio.h>  
  2. #include <stdlib.h>  
  3.   
  4. #define     MAX_LEN     128  
  5.   
  6. void heap_adjust(int *array,int *index,int n,int loc)  
  7. {  
  8.     int tmp,i,j,k;  
  9.     tmp=array[loc];  
  10.     k=index[loc];  
  11.     for(i=loc;2*i<n;i=j)  
  12.     {  
  13.         j=2*i;  
  14.         if(j+1<n && array[j]<array[j+1]) j++;  
  15.         if(tmp < array[j]) {  
  16.             array[i]=array[j];  
  17.             index[i]=index[j];  
  18.         }  
  19.         else break;  
  20.     }  
  21.     array[i]=tmp;  
  22.     index[i]=k;  
  23. }  
  24.   
  25. void heap_sort(int *array,int *index,int n)  
  26. {  
  27.     int i,j,tmp;  
  28.     for(i=n/2;i>0;i--)  
  29.         heap_adjust(array,index,n,i);  
  30.   
  31.     for(i=n;i>1;i--)  
  32.     {  
  33.         tmp=array[i];  
  34.         array[i]=array[1];  
  35.         array[1]=tmp;  
  36.           
  37.         j=index[i];  
  38.         index[i]=index[1];  
  39.         index[1]=j;  
  40.   
  41.         heap_adjust(array,index,i,1);  
  42.     }  
  43. }  
  44.   
  45.   
  46. int main()  
  47. {  
  48.     int n,i,j,k;  
  49.     int A[MAX_LEN],B[MAX_LEN],C[MAX_LEN*2],D[MAX_LEN*2],E[MAX_LEN],F[MAX_LEN];  
  50.     while(1==scanf("%d",&n)){  
  51.         if(n > 0 && n < MAX_LEN){  
  52.             for(i=1;i<=n;i++)  
  53.                 scanf("%d%d",A+i,B+i);  
  54.             break;  
  55.         }  
  56.         printf("invalid n\n");  
  57.     }  
  58.   
  59.     //initial tabs  
  60.     for(i=1;i<=2*n;i++){  
  61.         if(i<=n){  
  62.             C[i]=A[i];  
  63.             D[i]=i;  
  64.             E[i]=0;  
  65.         }  
  66.         else{  
  67.             C[i]=B[i-n];  
  68.             D[i]=-(i-n);  
  69.         }  
  70.     }  
  71.   
  72.     //sort it!  
  73.     heap_sort(C,D,2*n);  
  74.   
  75.     //dp find  
  76.     for(k=1,i=1,j=n;i<=j;k++){  
  77.         if(D[k] > 0){  
  78.             if(E[D[k]] == 0){  
  79.                 F[i++]=D[k];  
  80.                 E[D[k]]=1;  
  81.             }  
  82.         }  
  83.         else{  
  84.             if(E[-D[k]] == 0){  
  85.                 F[j--]=-D[k];  
  86.                 E[-D[k]]=1;  
  87.             }  
  88.         }  
  89.     }  
  90.   
  91.   
  92.     printf("scheduled tasks:");  
  93.     for(i=1;i<=n;i++)  
  94.         printf("%-3d",F[i]);  
  95.     printf("\n");  
  96.   
  97.     return 0;  
  98. }  

算法实现结果:

动态规划之 最优流水调度问题

that's all~