数据结构之二叉树

二叉树的定义：二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有 2i−1 个结点；深度为k的二叉树至多有 2k−1 个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0 ，度为2的结点数为 n2 ，则 n0=n2+1 。

满二叉树和完全二叉树

　　满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上。

　　满二叉树的性质：

　　1) 一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同， k=h ;

　　2) 叶子数为 2h ;

　　3) 第k层的结点数是： 2k−1 ;

　　4) 总结点数是： 2k−1 ，且总节点数一定是奇数。

　　完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

　　注：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

二叉树的性质

1、在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过 2i−1 , i≥1 ;

2、深度为h的二叉树最多有 2h−1 个结点(h≥1)，最少有h个结点;

3、对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为 N0 ，而度数为2的结点总数为 N2 ，则 N0=N2+1 ;

4、具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2(n+1) ;

5、有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：

　　若i为结点编号则 如果i>1，则其父结点的编号为i/2；

　　如果2i≤N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2i；若2i>N，则无左儿子；

　　如果2i+1≤N，则其右儿子的结点编号为2i+1；若2i+1>N，则无右儿子。

6、给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树，其中h(N)为卡特兰数的第N项，h(n)=C(2*n, n)/(n+1)。

7、设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i。