UnityShader入门精要学习笔记(二):数学知识

一. 笛卡尔坐标系

平时我们使用的是笛卡尔坐标系，记得高中时还学过极坐标系
左手坐标系：中指指向+Z，食指指向+Y，拇指指向+X（右方），旋转正方向为顺时针
右手坐标系：中指指向+Z，食指指向+Y，拇指指向+X（左方），旋转正方向为逆时针

在Unity中，除了观察空间（摄像机视野）使用的是右手坐标系以外，其它都是使用左手坐标系。

二.点和矢量（略）

三.矩阵

【矩阵乘法】

rXn的矩阵A和一个nXc的矩阵B，它们相乘会得到一个rXc的矩阵 C =AB

简单图示：

c23 = a21*b13 + a22*b23
同理：
c21 = a21*b11 + a22*b21

【特殊矩阵】

方阵：矩阵的行数和列数相同

单位矩阵：对线元素全为1，其余为0

转置矩阵：
（特性 ）

逆矩阵：并非全部矩阵都可逆，逆矩阵与原矩阵相乘（无论左右）得到单位矩阵

正交矩阵：前提为方阵，与自身的转置矩阵相乘（无论左右）得到单位矩阵
实际上，其转置矩阵与逆矩阵相等

【矩阵变换】

线性变换

            f(x) + f(y) = f(x+y)
            kf(x) = f(kx)

仿射变换

合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换可以使用一个4X4的矩阵来表示，为此我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标系。

            尝试使用线性变换进行平移操作
            令f(x) = x + (1,2,3)
            若x=1，那么：
            f(x)+f(x) = (4,6,8)
            f(2x) = f(x+x) = (3,4,5)
            不满足最后一条
            kf(x) = f(kx)
            可见：我么无法使用单纯的线性变换来进行平移操作，于是就有了放射变换

平移与缩放
对于任意一点point = (x,y,z) —————> (x,y,z,1)
为了让其能够同时接受平移变换，所以将其转换到齐次坐标下，其w分量设为1，这样当用一个4X4的矩阵对一个点进行变换时，平移、旋转、缩放都会施加于该点
[平移]

[缩放]

对于任意一方向矢量Vector=(x,y,z)
由于单纯矢量只有长度与方向的概念，所以平移变换对于矢量来说没有实际意义。
即矢量被平移之后不会发生改变。
所以转换到齐次坐标系下，其w分量为0
[平移]

[缩放]

旋转

关于复合变换

优先进行缩放，然后进行旋转，最后进行平移

四.坐标空间

模型空间
通常以模型的中心为原点，采用左手坐标系
比如玩Maya时，按住D键不放调整模型的中心点
Unity中model.TransformPoint(v3)函数可以得到model的局部空间中的点v3在世界空间
中的表示

世界空间
就是的游戏场景中的小宇宙
Unity中model.InverseTransformPoint(v3)可以得到世界空间中的点v3在模型model的局部空间中的表示

观察空间
也就是摄像机空间，采用右手坐标系
Unity中可以调用Camera.cameraToWorldMatrix以及Camera.worldToCameraMatrix等接口自行计算某模型在观察空间中的位置
这里要注意一点：观察空间和屏幕空间是不同的！前者是三维空间，而后者是二维空间。观察空间到屏幕空间需要进行一个操作，那就是投影(Projection)。

剪裁空间

前面的观察空间是以摄像机为中心的，而剪裁空间则是摄像机的视锥体内部空间
将前者中的一点转换到剪裁空间中所用的变换矩阵叫做剪裁矩阵，也被熟悉的称为投影矩阵
视锥体又分透视投影和正交投影

屏幕空间

屏幕空间是一个二维空间，将剪裁空间中的顶点投影到屏幕空间，生成对应的2D坐标：
首先，进行标准齐次除法，也就是透视除法后，用齐次坐标系的w分量除以x、y、z分量

坐标空间以及变换的总结

五.法线变换

法线是经常需要我们特殊处理的一种方向矢量，比如次时代技术中的高光贴图(BumpMap)，专门存储模型的表面法线信息。

切线由两点之间的差值得到，与法线垂直。

值得注意的是，如果变换矩阵是一个正交矩阵，那么其逆矩阵就等于自身的转置矩阵。

那么左乘这个变换矩阵的逆转置矩阵就等于它自身了。

另外补充一个特性，左乘一个矩阵的转置等于右乘该矩阵！

六.Unity Shader内置变量

【内置矩阵】

【摄像机与屏幕参数】

七.子空间坐标向父空间的转换

已知子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示为x_c、y_c、z_c，以及其原点位置O_c
给定一个子坐标空间中的一点A_c = (a,b,c)将其转换到父坐标空间下A_p:

M_c->p 经推导表示为将x_c、y_c、z_c、O_c按列排列组成齐次矩阵。
而对于矢量无需平移，只需要将x_c、y_c、z_c按列排列组成矩阵。

八.法线变换推理补充

在三维空间中，一个平面的表述为：ax + by + cz + d = 0；
n = (a,b,c,d) p=(x,y,z,1) 则该平面在空间中的表示为：n^Tp = 0
其中n为该面的法向量

现在对p进行变换，p_’ = Rp
对法向量的变换，n_’ = Qn

假设表示方式从空间A变换到了空间B中

变换后,该面上的任何点应该仍满足 :
(n_’)^Tp_’ = 0

也就是

(Qn)^T(Rp) = 0

n^T(Q^TR)p = 0

因为前面有：n^Tp = 0

所以，当Q^TR = I时

n^T(Q^TR)p = 0 成立

从而得到(R可逆的情况下)

Q = (R^-1)^T

九.View Space中摄像机前方的z为负值，故-z为正数